2013-辽宁卷文-21 解-三角不等式与恒成立

本题导读

本题考查不等式的证明。核心在于构造函数法、放缩法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(文)） (1)证明：当 $x\in [0,1]$ 时，$\frac{\sqrt{2}}{2}x⩽\sin x⩽x$；

(2)若不等式 $ax+x^2+\frac{x^3}{2}+2(x+2)\cos x⩽4$ 对 $x\in [0,1]$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. $(1)$ $\sin x⩽x$：$h=x-\sin x$，$h\prime =1-\cos x⩾0$，$h$ 递增且 $h(0)=0$；$\sin x⩾\frac{\sqrt{2}}{2}x$：$g=\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}x$ 在 $[0,1]$ 上最小值在端点，$g(0)=0$，$g(1)=\sin 1-\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.134>0$。
2. $(2)$ 由 $(1)$（取 $x/2$）：$1-\cos x=2{\sin }^2\frac{x}{2}⩾\frac{x^2}{4}$，于是 $4+2x-f_0(x)=(x+2)\left[2(1-\cos x)-\frac{x^2}{2}\right]⩾0$，即 $f_0(x)⩽4+2x$；当 $a⩽-2$ 时 $ax+f_0(x)⩽-2x+4+2x=4$。
3. $a>-2$ 时：$\frac{4-f_0(x)}{x}\to -2$（$x\to 0^{+}$），取充分小的 $x$ 可使 $\frac{4-f_0(x)}{x}<a$，此时 $ax+f_0(x)>4$，不等式失效。

✅【答案】

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(1)见解析；(2)$a\in (-\infty ,-2]$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 先证右边：设 $h(x)=x-\sin x$，则 $h\prime (x)=1-\cos x⩾0$，$h$ 在 $[0,1]$ 上递增，$h(x)⩾h(0)=0$，即 $\sin x⩽x$。 再证左边：设 $g(x)=\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}x$，则 $g\prime (x)=\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}$。 令 $g\prime =0$ 得 $x=\frac{\pi }{4}\in [0,1]$；$g$ 在 $\left[0,\frac{\pi }{4}\right]$ 上递增、在 $\left[\frac{\pi }{4},1\right]$ 上递减，最小值在端点取得：$g(0)=0$，$g(1)=\sin 1-\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.134>0$。 故对任意 $x\in [0,1]$，$g(x)⩾0$，即 $\sin x⩾\frac{\sqrt{2}}{2}x$。 （2） 记 $f_0(x)=x^2+\frac{x^3}{2}+2(x+2)\cos x$。 充分性：由（1）对 $\frac{x}{2}$ 使用结论：$\sin \frac{x}{2}⩾\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{x}{2}$，故 $1-\cos x=2{\sin }^2\frac{x}{2}⩾2\cdot \frac{x^2}{8}=\frac{x^2}{4}.$ 于是 $4+2x-f_0(x)=4+2x-x^2-\frac{x^3}{2}-2(x+2)\cos x=(x+2)\left[2(1-\cos x)-\frac{x^2}{2}\right]⩾(x+2)\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^2}{2}\right)=0,$ 即 $f_0(x)⩽4+2x$ 对 $x\in [0,1]$ 成立。 故当 $a⩽-2$ 时，$ax⩽-2x$，从而 $ax+f_0(x)⩽-2x+4+2x=4$，不等式恒成立。 必要性：当 $x>0$ 时， $\frac{4+2x-f_0(x)}{x}=(x+2)\left[\frac{2(1-\cos x)}{x}-\frac{x}{2}\right],$ 当 $x\to 0^{+}$ 时 $\frac{1-\cos x}{x}\to 0$，故 $\frac{4+2x-f_0(x)}{x}\to 0$，从而 $\frac{4-f_0(x)}{x}=-2+\frac{4+2x-f_0(x)}{x}\to -2$（且由 $4+2x-f_0(x)⩾0$ 知 $\frac{4-f_0(x)}{x}>-2$）。 若 $a>-2$，取充分小的 $x\in (0,1]$ 使 $\frac{4-f_0(x)}{x}<a$，则 $4-f_0(x)<ax$，即 $ax+f_0(x)>4$，不等式不成立。 综上，$a$ 的取值范围是 $(-\infty ,-2]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角不等式证明与恒成立求参数

核心方法：$(1)$ 右边 $\sin x⩽x$：$h(x)=x-\sin x$，$h\prime =1-\cos x⩾0$，$h$ 递增且 $h(0)=0$；左边 $\sin x⩾\frac{\sqrt{2}}{2}x$：$g(x)=\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}x$，$g\prime =0$ 得 $x=\frac{\pi }{4}$，$g$ 在 $[0,1]$ 的最小值在端点：$g(0)=0$，$g(1)=\sin 1-\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.134>0$；$(2)$ 由 $\sin \frac{x}{2}⩾\frac{\sqrt{2}}{4}x$ 得 $1-\cos x=2{\sin }^2\frac{x}{2}⩾\frac{x^2}{4}$，于是 $4+2x-f_0(x)=(x+2)\left[2(1-\cos x)-\frac{x^2}{2}\right]⩾0$，即 $f_0(x)⩽4+2x$；$a⩽-2$ 时 $ax⩽-2x$，相加得 $ax+f_0(x)⩽4$；$a>-2$ 时 $\frac{4-f_0(x)}{x}\to -2$（$x\to 0^{+}$），在 $0^{+}$ 附近失效

避坑指南：$(2)$ 别直接对左边整体求导讨论——先用 $(1)$ 的结论控制 $\cos x$：$4+2x-f_0(x)=(x+2)\left[2(1-\cos x)-\frac{x^2}{2}\right]⩾0$，即 $f_0(x)⩽4+2x$，立即得 $a⩽-2$ 时恒成立；再说明 $a>-2$ 时在 $x\to 0^{+}$ 附近失效（$\frac{4-f_0(x)}{x}\to -2$）。注意方向：放缩得到的上界是 $4+2x$，不是 $4-2x$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：不等式证明（构造函数 + 导数）与恒成立求参数范围。

结论推广：构造函数求导；放缩（借用第(1)问结论）；分离参数。

方法推广：$(1)$ 两侧分别构造求导；$(2)$ 整理成 $(x+2)[2(1-\cos x)-\frac{x^2}{2}]$ 的结构放缩。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷文-21 解-导数零点
• 2013-新课标II卷文-24 解-不等式证明
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