2008-四川卷理-06 单-排列组合

本题导读

本题考查排列组合中的组合数计算、间接法求解计数问题。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(理)） 从甲、乙等 10 个同学中挑选 4 名参加某项公益活动, 要求甲、乙中至少有 1 人参加, 则不同的挑选方法共有 ()

A. 70 种　　　　B. 112 种　　　　C. 140 种　　　　D. 168 种

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算从 10 人中任选 4 人的无限制总情况数。
2. 计算甲、乙两人都不参加的反面情况数。
3. 用总情况数减去反面情况数即可。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

从 10 个同学中挑选 4 名参加的无限制挑选方法总数为： ${\text{C}}_{10}^4=\frac{10\times 9\times 8\times 7}{4\times 3\times 2\times 1}=210\text{种}$ 甲、乙两人都不参加（即从其余 8 人中挑 4 人）的方法数为： ${\text{C}}_8^4=\frac{8\times 7\times 6\times 5}{4\times 3\times 2\times 1}=70\text{种}$ 则甲、乙中至少有 1 人参加的方法数为： $210-70=140\text{种}$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：组合数公式的计算与其在实际问题中的应用。
2. 核心方法：间接排除法（总数 - 违背条件数）。
3. 避坑指南：如果使用直接分类讨论法（恰有1人、共有2人），注意在选出甲或乙后，剩余的名额只能从除了甲、乙之外的8人中挑选，避免重复计数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自人教A版选修2-3中组合应用题中“含有特殊元素”的经典模型。
2. 结论推广：从 $n$ 个元素中选 $m$ 个元素，含有特定 $k$ 个元素中至少一个的选法为 ${\text{C}}_n^m-{\text{C}}_{n-k}^m$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷理-07 单-排列组合
• 2009-四川卷理-11 单-排列组合
• 2009-大纲卷II理-10 单-排列组合