2009-北京卷理-07 单-排列组合

本题导读

本题考查排列组合与计数原理、整数的整除特征（偶数特征）。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(理)） 用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 ()

A. 324　　　　　　B. 328　　　　　　C. 360　　　　　　D. 648

🔍【思路分析】

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1. 偶数的特征是末位数字必须为 0, 2, 4, 6, 8。而最高位（百位）不能为 0。
2. 元素 0 既受到末位偶数限制，又受到首位非零限制，因此必须以“0是否在末位”为标准进行分类讨论。
3. 分别计算两类情况下的排列数，最后由加法原理求和。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：将符合条件的三位偶数分为两类：

第一类：末位数字为 0

• 末位固定为 0，有 1 种选法；
• 百位数字从剩下的 1 到 9 这 9 个数字中任选 1 个，有 ${\text{A}}_9^1=9$ 种选法；
• 十位数字从剩下的 8 个数字中任选 1 个，有 ${\text{A}}_8^1=8$ 种选法。 此类的个数为： $1\times 9\times 8=72$ 个。

第二类：末位数字不为 0（即末位为 2, 4, 6, 8）

• 末位数字从 2, 4, 6, 8 中任选 1 个，有 ${\text{A}}_4^1=4$ 种选法；
• 百位数字不能为 0 且不能与末位数字重复，只能从剩余的 8 个非零数字中选 1 个，有 ${\text{A}}_8^1=8$ 种选法；
• 十位数字此时可以为 0，只要不与百位、末位重复，从剩余的 8 个数字中任选 1 个，有 ${\text{A}}_8^1=8$ 种选法。 此类的个数为： $4\times 8\times 8=256$ 个。

综合加法原理，总个数为： $72+256=328$ 个。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：特殊元素（0）与特殊位置（首位、末位）的排列计数；分类计数原理。
2. 核心方法：末位分类处理法。
3. 避坑指南：极易由于忽视“0不能放在百位”这一隐含限制，直接用总偶数排法去减，或者在第二类情况中百位选完后，忘记十位可以将 0 重新选入，从而导致少算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中计数原理章节中经典的“排数字问题”，是历年高考考查排列组合基本功的必考基准模型。
2. 结论推广：用 0 到 9 组成无重复的 $n$ 位偶数，其通用计数模型均可通过固定末位 0 与非 0 的分步乘法法则进行统一解决。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷理-08 单-排列组合
• 2012-辽宁卷理-05 单-排列组合
• 2013-北京卷理-12 填-排列组合应用