2008-四川卷理-09 单-线面位置

本题导读

本题考查直线与平面所成的角、空间中直线的位置关系。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(理)） 设直线 $l\subset$ 平面 $\alpha$, 过平面 $\alpha$ 外一点 $A$ 与 $l,\alpha$ 都成 $30^{\circ }$ 角的直线有且只有 ()

A. 1 条　　　　　B. 2 条　　　　　C. 3 条　　　　　D. 4 条

🔍【思路分析】

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1. 建立空间直角坐标系，设平面 $\alpha$ 为 $xy$ 坐标面，直线 $l$ 轴方向与 $x$ 轴平行。
2. 设所求直线的单位方向向量为 $\vec{u}=(x,y,z)$，利用线面角和线线角的余弦公式列出方程组求解向量个数。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

以平面 $\alpha$ 内一点为原点建立空间直角坐标系，使平面 $\alpha$ 为 $xy$ 平面，直线 $l$ 平行于 $x$ 轴。 则平面 $\alpha$ 的法向量为 $\vec{n}=(0,0,1)$，直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{v}=(1,0,0)$。 设过点 $A$ 的直线方向向量为 $\vec{u}=(x,y,z)$，满足 $x^2+y^2+z^2=1$。 根据题意： 直线与平面 $\alpha$ 成 $30^{\circ }$ 角，则 $|\sin 30^{\circ }|=|\cos ⟨\vec{u},\vec{n}⟩|=|z|=\frac{1}{2}$； 直线与直线 $l$ 成 $30^{\circ }$ 角，则 $|\cos 30^{\circ }|=|\cos ⟨\vec{u},\vec{v}⟩|=|x|=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 将 $z^2=\frac{1}{4}$ 和 $x^2=\frac{3}{4}$ 代入 $x^2+y^2+z^2=1$ 中，得： $\frac{3}{4}+y^2+\frac{1}{4}=1⟹y^2=0⟹y=0$ 故满足条件的解为 $x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$, $y=0$, $z=\pm \frac{1}{2}$。 对应的方向向量共有 4 个，由于相反向量代表同一条直线，故符合条件的直线有且只有 2 条。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面角与线线角的向量计算公式。
2. 核心方法：坐标法将空间位置几何问题转化为代数方程个数问题。
3. 避坑指南：容易误选 D，注意方向向量 $\vec{u}$ 与 $-\vec{u}$ 确定的是同一条直线。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于立几中圆锥面的交线背景。过定点与定直线成定角的直线系形成一个圆锥面，与平面成定角的直线系也形成一个圆锥面，两锥面交线即为所求。
2. 结论推广：若过平面 $\alpha$ 外一点 $A$ 与 $l,\alpha$ 分别成 ${\theta }_1,{\theta }_2$ 角，则直线的条数取决于 ${\sin }^2{\theta }_2+{\cos }^2{\theta }_1$ 与 1 的大小关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-江苏卷-18 解-直线与圆双弦
• 2009-辽宁卷文-07 单-直线与圆相切定圆
• 2009-重庆卷理-01 单-直线与圆的位