2008-四川卷理-16 填-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的前n项和公式、不等式的性质，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(理)） 设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 若 $S_4⩾10,S_5⩽15$, 则 $a_4$ 的最大值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 用首项 $a_1$ 和公差 $d$ 表示出已知条件 $S_4,S_5$ 以及目标代数式 $a_4$。
2. 利用待定系数法，寻找实数 $\lambda ,\mu$ 使得 $a_4=\lambda S_4+\mu S_5$。
3. 结合不等式的性质，注意系数的正负号，直接缩放确定 $a_4$ 的最大值。

✅【答案】

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$4$

✍【详细解析】

Abstract

设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$。 由求和公式可得： $S_4=4a_1+6d⟹2a_1+3d=\frac{1}{2}{S}_4⩾5$ $S_5=5a_1+10d⟹a_1+2d=\frac{1}{5}{S}_5⩽3$ 目标项为 $a_4=a_1+3d$。 设 $a_4=\lambda (2a_1+3d)+\mu (a_1+2d)$，展开得： $a_1+3d=(2\lambda +\mu )a_1+(3\lambda +2\mu )d$ 对应系数相等，列出方程组： $\{\begin{array}{l}2\lambda +\mu =1\\ 3\lambda +2\mu =3\end{array}$ 解得：$\lambda =-1,\mu =3$。 所以：$a_4=-(2a_1+3d)+3(a_1+2d)$。 因为 $2a_1+3d⩾5⟹-(2a_1+3d)⩽-5$， 且 $a_1+2d⩽3⟹3(a_1+2d)⩽9$。 两不等式同向相加得： $a_4⩽-5+9=4$ 当且仅当 $2a_1+3d=5$ 且 $a_1+2d=3$（即 $a_1=1,d=1$）时，等号成立。 故 $a_4$ 的最大值为 4。

故答案为：$4$。#### 💡【考点归纳与避坑指南】 [!danger]

1. 核心考点：等差数列基本量计算；不等式的基本性质。
2. 核心方法：待定系数法（最优解法，避免了传统代入消元导致范围放大或错解的可能）。
3. 避坑指南：切不可通过单独求出 $a_1$ 和 $d$ 的范围后再相加求 $a_4$，因为 $a_1$ 和 $d$ 之间存在互相制约的线性关系，直接拆分范围会导致结果范围扩大。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于线性规划的初等代数变形技巧，是数列与不等式约束融合的压轴填空题经典。
2. 结论推广：若已知等差数列中 $S_m⩾A,S_n⩽B$，求某项 $a_k$ 的范围，均可利用待定系数法构造 $a_k=\lambda S_m+\mu S_n$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-12 填-等差数列
• 2009-大纲卷I文-14 填-等差数列中项
• 2009-大纲卷II文-17 解-等差数列求和