2008-四川卷理-19 解-面面垂直

本题导读

本题考查四点共面的判定与证明、面面垂直的性质定理。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(理)） 如图, 平面 $ABEF\perp$ 平面 $ABCD$, 四边形 $ABEF$ 与 $ABCD$ 都是直角梯形, $\angle BAD=\angle FAB=90^{\circ }$, $BC\parallel \frac{1}{2}AD$, $BE\parallel \frac{1}{2}AF$.

(1) 证明: $C,D,F,E$ 四点共面;

(2) 设 $AB=BC=BE$, 求二面角 $A-ED-B$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：因为 $BC\parallel AD$ 且 $BC\ne AD$，延长 $AB$ 与 $DC$ 必相交于一点 $G$；同理，在直角梯形 $ABEF$ 中，延长 $AB$与 $FE$ 必相交于一点 $H$。通过相似三角形的比例关系证明 $G$ 与 $H$ 重合，从而说明 $CD$ 与 $FE$ 相交，确定共面。
2. 第二问：由 $\angle BAD=\angle FAB=90^{\circ }$ 结合面面垂直的性质定理，可证 $AD,AB,AF$ 两两互相垂直。以此建立空间直角坐标系，设 $AB=1$，写出各关键点的坐标，进而求出平面 $AED$ 和平面 $BED$ 的法向量，利用向量夹角公式求出二面角的余弦值。

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可知，$AD,AB,AF$ 两两互相垂直

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 在直角梯形 $ABCD$ 中，因为 $BC\parallel AD$ 且 $BC=\frac{1}{2}AD$， 所以延长 $AB$ 与 $DC$ 必相交于一点，记为 $G$。 则有 $\frac{GB}{GA}=\frac{BC}{AD}=\frac{1}{2}$，即 $B$ 为线段 $AG$ 的中心， $GB=BA$。 在直角梯形 $ABEF$ 中，因为 $BE\parallel AF$ 且 $BE=\frac{1}{2}AF$， 所以延长 $AB$ 与 $FE$ 必相交于一点，记为 $H$。 则有 $\frac{HB}{HA}=\frac{BE}{AF}=\frac{1}{2}$，即 $B$ 为线段 $AH$ 的中心， $HB=BA$。 由于 $G$ 和 $H$ 都在直线 $AB$ 的延长线上，且 $GB=HB=BA$， 因此 $G$ 与 $H$ 重合。 这意味着直线 $CD$ 与直线 $FE$ 相交于同一点 $G$， 因为两条相交直线确定一个平面，所以 $C,D,F,E$ 四点共面。

(2) 解： 因为 $\angle BAD=90^{\circ }$，所以 $AD\perp AB$。 又平面 $ABEF\perp$ 平面 $ABCD$，且平面 $ABEF\cap$ 平面 $ABCD=AB$， $AD\subset$ 平面 $ABCD$， 所以 $AD\perp$ 平面 $ABEF$。从而 $AD\perp AF$。 又 $\angle FAB=90^{\circ }⟹AF\perp AB$。 综上可知，$AD,AB,AF$ 两两互相垂直。

以 $A$ 为坐标原点，分别以 $AD,AB,AF$ 所在直线为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴建立空间直角坐标系 $A-xyz$。 设 $AB=BC=BE=1$，则 $AD=2$。 各点坐标分别为： $A(0,0,0)$, $D(2,0,0)$, $B(0,1,0)$, $E(0,1,1)$。 则 $\overrightarrow{AD}=(2,0,0)$, $\overrightarrow{AE}=(0,1,1)$。 设平面 $AED$ 的一个法向量为 ${\vec{n}}_1=(x_1,y_1,z_1)$，则： $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{AD}=2x_1=0\\ {\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{AE}=y_1+z_1=0\end{array}$ 令 $z_1=1$，得 ${\vec{n}}_1=(0,-1,1)$。

易知 $\overrightarrow{BE}=(0,0,1)$， $\overrightarrow{BD}=(2,-1,0)$。 设平面 $BED$ 的一个法向量为 ${\vec{n}}_2=(x_2,y_2,z_2)$，则： $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{BE}=z_2=0\\ {\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{BD}=2x_2-y_2=0\end{array}$ 令 $x_2=1$，得 ${\vec{n}}_2=(1,2,0)$。

设二面角 $A-ED-B$ 的平面角为 $\theta$，由图可知 $\theta$ 为锐角，则： $\cos \theta =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{|0\times 1+(-1)\times 2+1\times 0|}{\sqrt{0^2+(-1{)}^2+1^2}\times \sqrt{1^2+2^2+0^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}\times \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$ 所以二面角 $A-ED-B$ 的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{10}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：面面垂直性质定理的应用；空间两法向量夹角向二面角平面角的转化。
2. 核心方法：建系坐标法（快速且不易出错）。
3. 避坑指南：在第一问证明四点共面时，切不可直接说 $EC\parallel FD$，必须通过严格的比例计算证明延长线交于同一点；第二问计算出向量夹角后，需结合图形观察二面角是锐角还是钝角，从而决定最终余弦值的符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题依托于经典的翻折模型和组合多面体，由两个直角梯形沿公共腰垂直拼接而成，是经典的高考立体几何题型。
2. 结论推广：若两垂直平面内的直角梯形满足相似的比例缩放关系，其侧棱交点必汇聚于公共边界的延长线上。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-19 解-面面垂直二面角
• 2010-江西卷文-20 解-面面垂直线面角二面角
• 2011-江苏卷-22 解-空间向量与二面角