2008-四川卷理-21 解-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质、平面向量的坐标运算与数量积。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(理)） 设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，离心率 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$，右准线为 $l$，$M,N$ 是 $l$ 上的两个动点，$\overrightarrow{F_{1}M}\cdot \overrightarrow{F_{2}N}=0$.

(1) 若 $|\overrightarrow{F_{1}M}|=|\overrightarrow{F_{2}N}|=2\sqrt{5}$，求 $a,b$ 的值；

(2) 证明：当 $|MN|$ 取得最小值时，$\overrightarrow{F_{1}M}+\overrightarrow{F_{2}N}$ 与 $\overrightarrow{F_1{F}_2}$ 共线.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由离心率 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 确定 $a,b,c$ 之间的比例关系，进而得出焦点坐标与右准线 $l$ 的方程。
2. 设出动点 $M,N$ 的坐标，利用 $\overrightarrow{F_{1}M}\cdot \overrightarrow{F_{2}N}=0$ 导出 $M,N$ 纵坐标之间的乘积关系。
3. 第一问：由向量模长公式建立关于参数 $c$ 的方程组，解出 $c$ 后即可求得 $a,b$。
4. 第二问：将目标距离 $|MN|$ 表示为纵坐标差的绝对值，利用基本不等式寻找取得最小值时 $M,N$ 纵坐标的关系，从而代入验证向量共线。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

解：由离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得 $a=\sqrt{2}c$。 则 $b^2=a^2-c^2=2c^2-c^2=c^2$，即 $b=c$。 所以左、右焦点分别为 $F_1(-c,0)$， $F_2(c,0)$，右准线 $l$ 的方程为 $x=\frac{a^2}{c}=2c$。 设 $M(2c,y_1)$， $N(2c,y_2)$，则： $\overrightarrow{F_{1}M}=(3c,y_1),\overrightarrow{F_{2}N}=(c,y_2)$ 因为 $\overrightarrow{F_{1}M}\cdot \overrightarrow{F_{2}N}=0$，所以 $3c^2+y_1{y}_2=0$，即 $y_1{y}_2=-3c^2$。

(1) 依题意有 $|\overrightarrow{F_{1}M}{|}^2=9c^2+y_1^2=20$， $|\overrightarrow{F_{2}N}{|}^2=c^2+y_2^2=20$。 从而可得 $y_1^2=20-9c^2$， $y_2^2=20-c^2$。 因为 $(y_1{y}_2{)}^2=y_1^2{y}_2^2=(-3c^2{)}^2=9c^4$，代入得： $(20-9c^2)(20-c^2)=9c^4$ $400-200c^2+9c^4=9c^4⟹200c^2=400⟹c^2=2$ 因为 $c>0$，所以 $c=\sqrt{2}$。 故 $b=c=\sqrt{2}$， $a=\sqrt{2}c=2$。

(2) 证明： $|MN{|}^2=(y_1-y_2{)}^2=y_1^2+y_2^2-2y_1{y}_2$ 将 $y_1{y}_2=-3c^2$ 代入得： $|MN{|}^2=y_1^2+y_2^2+6c^2$ 因为 $y_1{y}_2=-3c^2<0$，所以 $y_1^2+y_2^2⩾2|y_1{y}_2|=6c^2$。 当且仅当 $y_1^2=y_2^2$ 时等号成立。 由于 $y_1{y}_2<0$，故当 $y_1=-y_2$ 时， $|MN{|}^2$ 取得最小值 $12c^2$，即 $|MN|$ 取得最小值。 此时， $\overrightarrow{F_{1}M}+\overrightarrow{F_{2}N}=(3c,y_1)+(c,y_2)=(4c,y_1+y_2)=(4c,0)$。 又 $\overrightarrow{F_1{F}_2}=(2c,0)$， 显然 $\overrightarrow{F_{1}M}+\overrightarrow{F_{2}N}=2\overrightarrow{F_1{F}_2}$。 所以当 $|MN|$ 取得最小值时， $\overrightarrow{F_{1}M}+\overrightarrow{F_{2}N}$ 与 $\overrightarrow{F_1{F}_2}$ 共线。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆锥曲线标准几何性质（准线公式 $x=\frac{a^2}{c}$）；向量数量积的坐标表示 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$。
2. 核心方法：参数化思想。通过将几何元素坐标化，将动点最值问题转化为一元代数式的最值或均值不等式问题。
3. 避坑指南：

• 右准线方程易记错为 $x=\frac{a}{e^2}$ 或漏掉平方，应牢记 $x=\frac{a^2}{c}$。
• 在第二问应用基本不等式 $y_1^2+y_2^2⩾2|y_1{y}_2|$ 时，由于已知 $y_1{y}_2=-3c^2$ 为负数，取绝对值时应注意符号转换。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于解析几何中经典的“解析几何坐标化”思想，是典型的将平面向量作为工具融入圆锥曲线背景的压轴解答题。
2. 结论推广：若将椭圆推广为双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，利用类似的坐标法及向量数量积关系，亦可得到相应的动线段最值及其对称共线结论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-21 解-椭圆向量模长
• 2009-大纲卷I文-12 单-椭圆准线向量
• 2010-上海卷文-23 解-椭圆向量与中点弦