2009-大纲卷I文-12 单-椭圆准线向量

本题导读

考查椭圆与向量综合。设 $A=(2,t)$，由 $\overrightarrow{FA}=3\overrightarrow{FB}$ 用 $A$ 表示 $B$，代入椭圆方程定 $t$，再求 $|AF|$。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(文)） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 的右焦点为 $F$，右准线为 $l$，点 $A\in l$，线段 $AF$ 交 $C$ 于点 $B$.若 $\overrightarrow{FA}=3\overrightarrow{FB}$，则 $|\overrightarrow{AF}|=$ ()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a^2=2$，$b^2=1\Rightarrow c=1$，$F=(1,0)$，右准线 $x=2$。
2. 设 $A=(2,t)$，则 $\overrightarrow{FB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{FA}=\left(\frac{1}{3},\frac{t}{3}\right)$，$B=\left(\frac{4}{3},\frac{t}{3}\right)$。
3. 代入椭圆方程解 $t^2=1$，$|AF|=\sqrt{1+t^2}$。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

椭圆的长半轴为 $\sqrt{2}$，短半轴为 $1$，故半焦距 $c=1$，右焦点 $F=(1,0)$，右准线 $l:x=2$。 设 $A=(2,t)$，则 $\overrightarrow{FA}=(1,t)$。由 $\overrightarrow{FA}=3\overrightarrow{FB}$ 得 $\overrightarrow{FB}=\left(\frac{1}{3},\frac{t}{3}\right),B=F+\overrightarrow{FB}=\left(\frac{4}{3},\frac{t}{3}\right).$ $B$ 在椭圆上：$\frac{16}{9\times 2}+\frac{t^2}{9}=1$，即 $\frac{8}{9}+\frac{t^2}{9}=1$，解得 $t^2=1$。 故 $|AF|=\sqrt{1+t^2}=\sqrt{2}$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的准线与向量共线

核心方法：设准线点坐标 + 定比分点

避坑指南：$\overrightarrow{FA}=3\overrightarrow{FB}$ 中 $B$ 在 $F$ 与 $A$ 之间，$\overrightarrow{FB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{FA}$ 方向别写反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆与向量共线结合是圆锥曲线综合小题。

结论推广：准线 $x=\frac{a^2}{c}$；线段分点坐标由向量比例直接给出。

方法推广：向量比例关系写成坐标等式后代入曲线方程，一气呵成。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2012-安徽卷文-20 解-椭圆焦点三角形与面积
• 2013-上海卷文-12 填-椭圆焦点距离
• 2015-广东卷文-08 单-椭圆焦点