2009-四川卷文-21 解-椭圆向量模长

本题导读

考查椭圆与向量模长。（1）$a=\sqrt{2}$，$c=1$，$b=1$，方程 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$；（2）$|\overrightarrow{F_{2}M}+\overrightarrow{F_{2}N}{|}^2=\frac{(8k^2+2{)}^2+4k^2}{(1+2k^2{)}^2}=\frac{104}{9}$，解得 $k=\pm 1$，直线 $y=x+1$ 或 $y=-x-1$。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(文)） 已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，离心率 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$，右准线方程为 $x=2$.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点 $F_1$ 的直线 $l$ 与该椭圆交于 $M,N$ 两点，且 $\left|\overrightarrow{F_{2}M}+\overrightarrow{F_{2}N}\right|=\frac{2\sqrt{26}}{3}$，求直线 $l$ 的方程.

🔍【思路分析】

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1. $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{a^2}{c}=2$，解得 $a=\sqrt{2}$，$c=1$，$b=1$。
2. 设 $l:y=k(x+1)$，代入 $x^2+2y^2=2$：$(1+2k^2)x^2+4k^{2}x+2k^2-2=0$。
3. $x_1+x_2=-\frac{4k^2}{1+2k^2}$，$y_1+y_2=\frac{2k}{1+2k^2}$。
4. $\overrightarrow{F_{2}M}+\overrightarrow{F_{2}N}=\left(-\frac{8k^2+2}{1+2k^2},\frac{2k}{1+2k^2}\right)$。
5. 模平方等于 $\frac{104}{9}$：$40k^4-23k^2-17=0$，$k^2=1$。
6. 竖直直线 $x=-1$ 时模为 $4\ne \frac{2\sqrt{26}}{3}$，舍去。

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{2}+y^2=1$；(2)$y=x+1$ 或 $y=-x-1$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由题意，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，右准线 $x=\frac{a^2}{c}=2$。 由 $\frac{a^2}{c}=2$ 与 $c=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，得 $a=\sqrt{2}$，$c=1$，$b^2=a^2-c^2=1$。 故椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{2}+y^2=1.$ （2）$F_1(-1,0)$，$F_2(1,0)$。当直线 $l$ 斜率存在时，设 $l:y=k(x+1)$，代入椭圆方程： $x^2+2k^2(x+1{)}^2=2,\text{即}(1+2k^2)x^2+4k^{2}x+2k^2-2=0.$ 设 $M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$，则 $x_1+x_2=-\frac{4k^2}{1+2k^2},y_1+y_2=k(x_1+x_2+2)=\frac{2k}{1+2k^2}.$ $\overrightarrow{F_{2}M}+\overrightarrow{F_{2}N}=(x_1+x_2-2,y_1+y_2)=\left(-\frac{8k^2+2}{1+2k^2},\frac{2k}{1+2k^2}\right).$ 由模长条件， $\frac{(8k^2+2{)}^2+4k^2}{(1+2k^2{)}^2}={\left(\frac{2\sqrt{26}}{3}\right)}^2=\frac{104}{9},$ 化简得 $40k^4-23k^2-17=0$，即 $(k^2-1)(40k^2+17)=0$，故 $k=\pm 1$。 当直线 $l$ 垂直于 $x$ 轴时，$M,N$ 为 $\left(-1,\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$， $\left|\overrightarrow{F_{2}M}+\overrightarrow{F_{2}N}\right|=4\ne \frac{2\sqrt{26}}{3}$，不合题意。 故直线 $l$ 的方程为 $y=x+1$ 或 $y=-x-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆方程与向量和的模

核心方法：韦达定理表示 $x_1+x_2$、$y_1+y_2$，向量和化单变量 $k$

避坑指南：模长条件化出 $40k^4-23k^2-17=0$，因式分解 $(k^2-1)(40k^2+17)=0$；斜率不存在的情形必须单独检验（模为 $4$ 不合）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$\overrightarrow{F_{2}M}+\overrightarrow{F_{2}N}=(x_1+x_2-2,y_1+y_2)$，中点坐标的 $2$ 倍即向量和。

结论推广：过焦点的直线设 $y=k(x+1)$，别忘讨论竖直情形。

方法推广：$y_1+y_2=k(x_1+x_2+2)$ 利用直线方程，不必求交点纵坐标。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-22 解-椭圆存在点与直线
• 2009-北京卷文-13 填-椭圆焦点三角形
• 2009-大纲卷I文-12 单-椭圆准线向量
• 2009-天津卷文-22 解-椭圆平行比例与外接圆