2008-四川卷理-22 解-导数

本题导读

本题考查导数的几何意义与极值点的定义、利用导数研究函数的单调性。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(理)） 已知 $x=3$ 是函数 $f(x)=a\ln (1+x)+x^2-10x$ 的一个极值点.

(1) 求 $a$;

(2) 求函数 $f(x)$ 的单调区间;

(3) 若直线 $y=b$ 与函数 $y=f(x)$ 的图象有 3 个交点，求 $b$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：求出 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime }(x)$，由 $x=3$ 是极值点可知 $f^{\prime }(3)=0$，代入即可求解 $a$，之后需要验证在该点两侧导数符号是否发生改变。
2. 第二问：将 $a$ 的值代入导函数，在定义域 $x\in (-1,+\infty )$ 内令 $f^{\prime }(x)>0$ 与 $f^{\prime }(x)<0$，通过因式分解求出相应的单调递增与递减区间。
3. 第三问：结合第二问的单调性，画出函数 $f(x)$ 的变化趋势草图。分析边界点 $x\to -1^{+}$ 和 $x\to +\infty$ 时的极限表现，得出函数有且仅有一个极大值和一个极小值。要使水平直线 $y=b$ 与图象有 3 个交点， $b$ 必须介于极小值与极大值之间。

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函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-1,1)$ 和 $(3,+\infty )$；单调递减区间为 $(1,3)$

✍【详细解析】

Abstract

解：函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-1,+\infty )$。 求导得： $f^{\prime }(x)=\frac{a}{1+x}+2x-10$。

(1) 因为 $x=3$ 是函数 $f(x)$ 的一个极值点， 所以 $f^{\prime }(3)=\frac{a}{1+3}+2\times 3-10=0⟹\frac{a}{4}-4=0⟹a=16$。 经检验，当 $a=16$ 时， $f^{\prime }(x)=\frac{2(x-1)(x-3)}{1+x}$，在 $x=3$ 两侧导数符号由负变正， $x=3$ 确实为极小值点。 故 $a=16$。

(2) 当 $a=16$ 时， $f^{\prime }(x)=\frac{16}{1+x}+2x-10=\frac{2x^2-8x+6}{1+x}=\frac{2(x-1)(x-3)}{1+x}$。 令 $f^{\prime }(x)=0$，解得 $x_1=1,x_2=3$（均在定义域内）。 当 $-1<x<1$ 时， $f^{\prime }(x)>0$，函数 $f(x)$ 单调递增； 当 $1<x<3$ 时， $f^{\prime }(x)<0$，函数 $f(x)$ 单调递减； 当 $x>3$ 时， $f^{\prime }(x)>0$，函数 $f(x)$ 单调递增。 综上所述： 函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-1,1)$ 和 $(3,+\infty )$； 单调递减区间为 $(1,3)$。

(3) 由 (2) 的单调性可知： 当 $x=1$ 时，函数 $f(x)$ 取得极大值： $f(1)=16\ln 2+1-10=16\ln 2-9$ 当 $x=3$ 时，函数 $f(x)$ 取得极小值： $f(3)=16\ln 4+9-30=32\ln 2-21$ 同时，当 $x$ 从右侧趋近于 $-1$ 时， $\ln (1+x)\to -\infty$，故 $f(x)\to -\infty$； 当 $x\to +\infty$ 时， $f(x)\to +\infty$。 结合函数先增后减再增的连续图象可知，要使直线 $y=b$ 与函数 $y=f(x)$ 的图象有 3 个交点， 实数 $b$ 必须严格介于极小值与极大值之间，即： $f(3)<b<f(1)$ 所以 $32\ln 2-21<b<16\ln 2-9$。 故 $b$ 的取值范围是 $(32\ln 2-21,16\ln 2-9)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数公式及四则运算；一元三次或分式导函数的零点确定；函数图象交点与方程根的转化。
2. 核心方法：

• 极值点逆向求解法（由 $f^{\prime }(x_0)=0$ 求参，必须回代检验）。
• 列表或数轴穿针法确定导数符号。

3. 避坑指南：

• 第一问求出 $a$ 后在规范的解答题中一定要有“检验”这一步，因为 $f^{\prime }(x_0)=0$ 只是可导函数在 $x_0$ 取得极值的必要条件。
• 第三问应说明边界 $x\to -1^{+}$ 时的取值趋势，确保函数图象左侧无下界，从而严格支撑 3 个交点的存在。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于高等数学中利用一阶导数研究曲线形态（单调性、极值）的基本内容，是高考中对数型复合函数综合压轴题的开山经典。
2. 结论推广：对于形如 $f(x)=a\ln (1+x)+p{x}^2+qx$ 的函数，其零点与交点个数范围完全依赖于区间端点处的极限值与导数零点对应的极值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-19 解-偶函数与导数
• 2010-安徽卷文-20 解-三角函数导数单调极值
• 2010-重庆卷文-19 解-奇函数导数最值