2008-大纲卷I文-17 解-解三角形求边周长

本题导读

考查正余弦定理。$a\sin B=4$ 与 $a\cos B=3$ 相除得 $\tan B=\frac{4}{3}$，$\sin B=\frac{4}{5}$，$a=5$；$S=10$ 给出 $c=5$，余弦定理得 $b=2\sqrt{5}$，周长 $10+2\sqrt{5}$。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(文)） 设 $△ABC$ 的内角 $A$、$B$、$C$ 所对的边长分别为 $a$、$b$、$c$，且 $a\cos B=3$，$b\sin A=4$.

(1)求边长 $a$；

(2)若 $△ABC$ 的面积 $S=10$，求 $△ABC$ 的周长 $l$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由正弦定理 $a\sin B=b\sin A=4$。
2. 与 $a\cos B=3$ 相除得 $\tan B$，进而求 $\sin B$、$\cos B$。
3. $a=\frac{4}{\sin B}$。
4. 面积 $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}c\cdot b\sin A=2c$，解出 $c$。
5. 余弦定理求 $b$，周长 $l=a+b+c$。

✅【答案】

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(1)$a=5$；(2)$l=10+2\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)由正弦定理，$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，所以 $a\sin B=b\sin A=4$. 于是 $\frac{\cos B}{\sin B}=\frac{a\cos B}{a\sin B}=\frac{3}{4}.$ 由于 $a\cos B=3>0$，故 $B$ 为锐角，从而 $\sin B=\frac{4}{5}$，$\cos B=\frac{3}{5}$. 因此 $a=\frac{4}{\sin B}=5.$ (2)由面积公式， $10=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}c(b\sin A)=\frac{1}{2}c\times 4=2c,$ 所以 $c=5$. 由余弦定理， $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=25+25-2\times 5\times 5\times \frac{3}{5}=20,$ 故 $b=2\sqrt{5}$. 三角形的周长为 $l=a+b+c=5+2\sqrt{5}+5=10+2\sqrt{5}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正余弦定理解三角形

核心方法：$\tan B=\frac{4}{3}$，$\sin B=\frac{4}{5}$，$a=5$；$S=2c$ 得 $c=5$，$b=2\sqrt{5}$，$l=10+2\sqrt{5}$

避坑指南：$a\sin B=4$ 与 $a\cos B=3$ 相除得 $\tan B$；$B$ 的范围由 $a\cos B>0$ 判定；面积 $S=\frac{1}{2}c\cdot b\sin A$ 借用已知 $b\sin A=4$ 巧算 $c$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“边角混合条件”的解三角形是大题常客，2009 四川文第 17 题、2010 陕西文第 17 题同型。

结论推广：正弦定理 $a\sin B=b\sin A$；$S=\frac{1}{2}bc\sin A$；余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$。

方法推广：把两个混合条件相除快速锁定角；面积条件借”已知乘积”整体代入；周长最后一加即得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-17 解-解三角形
• 2009-大纲卷I文-18 解-解三角形求边
• 2010-大纲卷I文-18 解-正弦定理求角
• 2010-陕西卷文-17 解-解三角形求边