2010-陕西卷文-17 解-解三角形求边

本题导读

考查正余弦定理解三角形。先在 $△ADC$ 中用余弦定理求出 $\angle ADC=120^{\circ }$，得 $\angle ADB=60^{\circ }$；再在 $△ABD$ 中用正弦定理得 $AB=5\sqrt{6}$。

📌【题干】

Question

（2010年陕西卷(文)） 如图，在 $△ABC$ 中，已知 $\angle B=45^{\circ }$，$D$ 是 $BC$ 边上的一点，$AD=10$，$AC=14$，$DC=6$，求 $AB$ 的长.

🔍【思路分析】

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1. 已知 $△ADC$ 三边，先用余弦定理求 $\angle ADC$。
2. 由 $B$、$D$、$C$ 共线得 $\angle ADB=180^{\circ }-\angle ADC$。
3. $△ABD$ 中已知两角一一对边，用正弦定理求 $AB$。

✅【答案】

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$AB=5\sqrt{6}$

✍【详细解析】

Abstract

在 $△ADC$ 中，$AD=10$，$AC=14$，$DC=6$，由余弦定理 $\cos \angle ADC=\frac{A{D}^2+D{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AD\cdot DC}=\frac{100+36-196}{2\times 10\times 6}=-\frac{1}{2},$ 所以 $\angle ADC=120^{\circ }$，从而 $\angle ADB=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$. 在 $△ABD$ 中，$\angle B=45^{\circ }$，$\angle ADB=60^{\circ }$，由正弦定理 $\frac{AB}{\sin \angle ADB}=\frac{AD}{\sin B},$ 即 $AB=\frac{AD\cdot \sin 60^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=\frac{10\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=5\sqrt{6}.$ 所以 $AB=5\sqrt{6}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正余弦定理解三角形

核心方法：$\cos \angle ADC=-\frac{1}{2}\Rightarrow \angle ADB=60^{\circ }$；$AB=\frac{10\sin 60^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=5\sqrt{6}$

避坑指南：三边已知用余弦定理求角，得到 $\angle ADC=120^{\circ }$ 后别忘了邻补角转换 $\angle ADB=60^{\circ }$；正弦定理列式时”边对角”要一一对应；$10\sqrt{3}/\sqrt{2}$ 要有理化成 $5\sqrt{6}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“分中线/分点型”解三角形是解答题高频模型，2009 四川文第 17 题、2011 湖北文第 16 题同型。

结论推广：余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$；正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$；共线角的邻补关系。

方法推广：把图形拆成两个三角形，逐个列出已知量；先用余弦定理求角、再借邻补角过渡到另一个三角形，正弦定理收尾。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-17 解-解三角形
• 2009-湖北卷文-16 解-正余弦定理解三角形
• 2011-湖北卷文-16 解-正余弦定理解三角形
• 2011-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形求高