2008-大纲卷I文-19 解-数列递推错位相减

本题导读

考查数列递推与求和。$b_{n+1}-b_n=1$ 得 $b_n=n$，$a_n=n\cdot 2^{n-1}$；错位相减得 $S_n=(n-1)2^n+1$。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(文)） 在数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+2^n$.

(1)设 $b_n=\frac{a_n}{2^{n-1}}$. 证明：数列 $\{b_n\}$ 是等差数列；

(2)求数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.

🔍【思路分析】

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1. (1)写出 $b_{n+1}$，把递推式代入，验证 $b_{n+1}-b_n$ 为常数。
2. 求出 $b_1$，写出 $b_n$ 的通项，进而得 $a_n$。
3. (2)$a_n=n\cdot 2^{n-1}$ 为”等差 $\times$ 等比”结构，用错位相减法。

✅【答案】

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(1)证明见解析；(2)$S_n=(n-1)2^n+1$

✍【详细解析】

Abstract

(1)由递推式， $b_{n+1}=\frac{a_{n+1}}{2^n}=\frac{2a_n+2^n}{2^n}=\frac{a_n}{2^{n-1}}+1=b_n+1.$ 所以 $b_{n+1}-b_n=1$，数列 $\{b_n\}$ 是公差为 $1$ 的等差数列. 又 $b_1=a_1=1$，故 $b_n=b_1+(n-1)\times 1=n$. (2)由(1)得 $a_n=2^{n-1}{b}_n=n\cdot 2^{n-1}$. $S_n={\sum }_{k=1}^{n}k{2}^{k-1}.$ 将上式乘以 $2$，并作换指标变形，得 $2S_n={\sum }_{k=1}^{n}k{2}^k={\sum }_{k=2}^{n+1}(k-1)2^{k-1}={\sum }_{k=2}^n(k-1)2^{k-1}+n\cdot 2^n.$ 于是 $S_n=2S_n-S_n=n\cdot 2^n-{\sum }_{k=2}^n{2}^{k-1}=n\cdot 2^n-(2^n-2)=(n-1)2^n+2-2^n,$ 整理得 $S_n=(n-1)2^n+1.$ 故数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n=(n-1)2^n+1$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列递推与错位相减

核心方法：$b_{n+1}-b_n=1$，$b_n=n$，$a_n=n\cdot 2^{n-1}$，$S_n=(n-1)2^n+1$

避坑指南：构造 $b_n=\frac{a_n}{2^{n-1}}$ 是”除以公比幂”的标准动作；$a_n=n\cdot 2^{n-1}$ 属”等差 $\times$ 等比”，错位相减后核对 $n=1$：$S_1=1=(0)\cdot 2+1$ ✓。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：递推构造 + 错位相减是数列大题主线，2009 广东文第 20 题、2010 四川文第 20 题同型。

结论推广：$b_{n+1}=\frac{2a_n+2^n}{2^n}=b_n+1$；错位相减：$S_n-2S_n$ 错位对齐相减。

方法推广：构造后先验证 $b_1$；错位相减记得检验 $n=1,2$ 两项，防止符号或指数错位。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2009-广东卷文-20 解-数列递推裂项
• 2010-四川卷文-20 解-等差数列错位相减
• 2010-湖北卷文-19 解-数列递推与通项
• 2009-浙江卷文-20 解-等差数列通项等比