2008-大纲卷I文-20 解-化验方案概率

本题导读

考查古典概型与方案比较。按患病动物编号枚举两方案的化验次数：$N_{甲}=(1,2,3,4,4)$、$N_{乙}=(2,3,3,2,2)$，$N_{甲}⩾N_{乙}$ 有 $3$ 种，$P=\frac{3}{5}$。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(文)） 已知 $5$ 只动物中有 $1$ 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物. 血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病. 下面是两种化验方案： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止. 方案乙：先任取 $3$ 只，将它们的血液混在一起化验. 若结果呈阳性则表明患病动物为这 $3$ 只中的 $1$ 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外 $2$ 只中任取 $1$ 只化验. 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 给动物按化验顺序编号 $1\sim 5$，患病动物等可能为其中一只。
2. 逐一列出方案甲在每种情形下的化验次数。
3. 逐一列出方案乙在每种情形下的化验次数。
4. 数出 $N_{甲}⩾N_{乙}$ 的情形数，除以 $5$。

✅【答案】

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$\frac{3}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

将动物按方案甲的化验顺序编号为 $1,2,3,4,5$，并设患病动物等可能地是这五只中的任意一只. 方案甲中，若第 $1,2,3,4$ 只患病，分别需要化验 $1,2,3,4$ 次；若前四只均未患病，则第 $5$ 只必患病，不必再化验第 $5$ 只. 因而方案甲所需次数依次为 $N_{甲}=(1,2,3,4,4).$ 方案乙先把第 $1,2,3$ 只混合化验： 若患病动物是第 $1$ 只，混合化验呈阳性，再化验第 $1$ 只即可确定，总次数 $2$； 若患病动物是第 $2$ 或第 $3$ 只，混合化验后需先后化验前两只，总次数均为 $3$； 若患病动物是第 $4$ 或第 $5$ 只，混合化验呈阴性，再任取另外两只中的一只化验：阳性时直接确定，阴性时另一只必患病，总次数均为 $2$. 所以 $N_{乙}=(2,3,3,2,2).$ 比较两种方案可知，$N_{甲}⩾N_{乙}$ 的情形是患病动物为第 $3,4,5$ 只，共 $3$ 种. 因此 $P(N_{甲}⩾N_{乙})=\frac{3}{5}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：化验方案的古典概型

核心方法：$N_{甲}=(1,2,3,4,4)$，$N_{乙}=(2,3,3,2,2)$，$P=\frac{3}{5}$

避坑指南：按患病动物编号枚举：方案甲第 5 只不用化验（前 4 只阴性即锁定），次数记 $4$；方案乙混合化验后分类计数；“不少于”是 $⩾$，逐位比较。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“方案比较”概率题是大纲卷特色，2009 大纲Ⅰ文第 20 题、2010 大纲Ⅰ文第 19 题同型。

结论推广：古典概型 $P=\frac{m}{n}$；随机变量列表法：把每只动物患病对应的次数排成向量再比较。

方法推广：把抽象方案翻译成”按编号的次数表”是破题关键；等可能样本共 $5$ 个，分母很小，枚举即可。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-20 解-围棋连胜概率
• 2010-大纲卷I文-19 解-稿件评审概率
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