2007-大纲卷I文-18 解-独立重复试验与对立事件

本题导读

本题考查独立重复试验。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(文)） 某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是 $0.6$．经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润 $200$ 元；若顾客采用分期付款，商场获得利润 $250$ 元． （1）求 $3$ 位购买该商品的顾客中至少有 $1$ 位采用一次性付款的概率； （2）求 $3$ 位顾客每人购买 $1$ 件该商品，商场获得利润不超过 $650$ 元的概率．

🔍【思路分析】

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1. （1）正难则反：先算三位全分期 $0.4^3$，再取对立。
2. （2）设一次性付款人数为 $X$，利润 $200X+250(3-X)=750-50X$；\u201c不超过 650\u201d即 $X⩾2$。
3. 二项概型求 $P(X=2)+P(X=3)$。

✅【答案】

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（1）$0.936$；（2）$0.648$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 每位顾客采用分期付款的概率为 $1-0.6=0.4$，三位顾客的选择相互独立． 三位顾客全部采用分期付款的概率为 $0.4^3=0.064$，故至少有 $1$ 位采用一次性付款的概率为 $1-0.4^3=1-0.064=\mathrm{0.936.}$ （2） 设三位顾客中采用一次性付款的人数为 $X$，则总利润为 $200X+250(3-X)=750-50X.$ 利润不超过 $650$ 元等价于 $750-50X⩽650⟺X⩾2.$ 故所求概率为 $P(X=2)+P(X=3)={\mathrm{C}}_3^2(0.6{)}^2(0.4)+(0.6{)}^3=3\times 0.36\times 0.4+0.216=0.432+0.216=\mathrm{0.648.}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：独立重复试验与对立事件

核心方法：对立事件转化 + 二项概型求和

避坑指南：“至少有 1 位”用 $1-0.4^3$，别直接枚举三类情形相加（容易漏或重）；“利润不超过 650”等价于 $X⩾2$ 而非 $X>2$，注意等号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：付款方式与利润模型是概率解答题的常见背景（2008 大纲Ⅰ文化验方案、2009 围棋连胜同族）。

结论推广：$n$ 次独立重复试验中 $P(X=k)={\mathrm{C}}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$。

方法推广：“至多、至少”型概率优先取对立事件；价格（利润）条件先化成随机变量的不等式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练(Links)

• 2008-大纲卷I文-20 解-化验方案概率
• 2008-湖北卷文-14 填-独立事件至少一个