2008-大纲卷I理-08 单-三角函数

本题导读

本题考查三角函数图像的平移变换。解题关键在于先使用诱导公式将正弦函数与余弦函数统一为同名函数，再利用“左加右减”的原则判断平移方向与具体位移量。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(理)） 为得到函数 $y=\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ 的图像，只需将函数 $y=\sin 2x$ 的图像 ()

A. 向左平移 $\frac{5\pi }{12}$ 个长度单位　　　　B. 向右平移 $\frac{5\pi }{12}$ 个长度单位

C. 向左平移 $\frac{5\pi }{6}$ 个长度单位　　　　D. 向右平移 $\frac{5\pi }{6}$ 个长度单位

🔍【思路分析】

破题导航

1. 使用诱导公式 $\cos \theta =\sin \left(\theta +\frac{\pi }{2}\right)$，将目标余弦函数转换为正弦函数。
2. 将正弦函数解析式中的自变量 $x$ 的系数 2 提取出来，化为标准形式 $y=\sin 2(x+\varphi )$。
3. 比对 $y=\sin 2x$ 与标准形式的关系，根据“左加右减”判定平移的具体数值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

首先将目标函数 $y=\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ 利用诱导公式转化为正弦函数： $y=\sin \left[\left(2x+\frac{\pi }{3}\right)+\frac{\pi }{2}\right]=\sin \left(2x+\frac{5\pi }{6}\right)$ 提取自变量 $x$ 的系数 2，将解析式进行变形： $y=\sin 2\left(x+\frac{5\pi }{12}\right)$ 对比原函数 $y=\sin 2x$，自变量 $x$ 变为了 $x+\frac{5\pi }{12}$， 根据“左加右减”的图像平移法则，只需将 $y=\sin 2x$ 的图像向左平移 $\frac{5\pi }{12}$ 个长度单位。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数图像的平移变换公式、正余弦函数的诱导公式转换。
2. 核心方法：系数提取法。必须先将 $x$ 的系数提至括号外部，才能准确得到针对自变量 $x$ 的实际平移量。
3. 避坑指南：极易由于不提取系数 2，直接看形式 $\frac{5\pi }{6}$ 而误选 C。平移变换是针对自变量 $x$ 本身，而不是针对整个角 $2x$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材中三角函数图像变换章节的经典易错题。
2. 结论推广：要将 $y=\sin \omega x$ 变换为 $y=\cos (\omega x+\phi )$，所需平移量为向左平移 $\frac{\frac{\pi }{2}+\phi }{\omega }$（当该值为正时向左）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-06 填-三角函数
• 2009-四川卷理-04 单-三角函数
• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数