2008-大纲卷I理-13 填-线性规划

本题导读

本题考查线性规划问题。核心在于由不等式组准确画出可行域，通过平移目标函数直线或代入可行域顶点确定目标函数的最大值。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(理)） 若 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y\ge 0\\ x-y+3\ge 0\\ 0\le x\le 3\end{array}$，则 $z=2x-y$ 的最大值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析不等式组确定的可行域，该可行域是一个以各边界交点为顶点的凸多边形区域。
2. 目标函数化为斜截式 $y=2x-z$，要使 $z$ 最大，直线的 y 轴截距 $-z$ 需最小，即直线需尽可能向右下方平移。
3. 找出可行域中最偏向右下方的顶点坐标，代入目标函数即可求得最大值。

✅【答案】

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$9$

✍【详细解析】

Abstract

由约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y\ge 0\\ x-y+3\ge 0\\ 0\le x\le 3\end{array}$ 可知： 当 $x=3$ 时，由 $x+y\ge 0$ 得 $y\ge -3$；由 $x-y+3\ge 0$ 得 $y\le 6$。 可行域最右下方的顶点为直线 $x=3$ 与 $x+y=0$ 的交点，解得该顶点坐标为 $P(3,-3)$。 将点 $P(3,-3)$ 代入目标函数 $z=2x-y$ 中得： $z_{\max }=2\times 3-(-3)=6+3=9$ 故答案为 9。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面可行域的确定及线性目标函数几何意义的理解。
2. 核心方法：图解平移法或边界顶点穷举法。
3. 避坑指南：画可行域时需注意各不等式的方向，避免找错边界导致边界点坐标计算错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中线性规划章节的基本运算与常规作图题。
2. 结论推广：对于目标函数 $z=Ax+By(B<0)$，其最大值通常在可行域边界凸形区域倾向下方的顶点处取得。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-07 填-线性规划开区域
• 2009-上海卷理-03 填-不等式
• 2009-北京卷理-10 填-线性规划