2009-北京卷理-10 填-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划、目标函数的几何意义，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(理)） 若实数 $x,y$ 满足 $\{\begin{array}{l}x+y-2⩾0\\ x⩽4\\ y⩽5\end{array}$，则 $s=y-x$ 的最小值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 在平面直角坐标系中，根据三个不等式画出三条直线围成的可行域。
2. 转化目标函数 $s=y-x⟹y=x+s$，明确其几何意义是斜率为 1、纵截距为 $s$ 的直线族。
3. 顺着 $y$ 轴向下平移直线，当直线经过可行域边界上的右下角顶点时，截距 $s$ 取得最小值。

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$-6$

✍【详细解析】

Abstract

解：首先由约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y-2⩾0\\ x⩽4\\ y⩽5\end{array}$ 画出平面可行域。 该可行域是由直线 $x+y-2=0$、 $x=4$、 $y=5$ 围成的直角梯形封闭区域，其关键的三个顶点交点为：

• 直线 $y=5$ 与 $x+y-2=0$ 交于点 $A(-3,5)$；
• 直线 $x=4$ 与 $y=5$ 交于点 $B(4,5)$；
• 直线 $x=4$ 与 $x+y-2=0$ 交于点 $C(4,-2)$。

将目标函数变形为直线方程的斜截式形式： $y=x+s$。 这表示一组斜率为 1、在 $y$ 轴上截距为 $s$ 的平行直线。 要使 $s$ 取得最小值，只需该直线在可行域内向下平移至最底端。 由图直观可知，当直线 $y=x+s$ 经过可行域右下角的顶点 $C(4,-2)$ 时，该直线在 $y$ 轴上的截距 $s$ 达到最小。 将 $C(4,-2)$ 的坐标代入目标函数中： $s_{\min }=-2-4=-6$ 填空答案：$-6$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二元一次不等式组表示的平面区域；线性目标函数截距的平移规律。
2. 核心方法：图解数形结合法。
3. 避坑指南：容易把 $s=y-x$ 误看成斜率或距离形式。务必先化成 $y=x+s$，看清 $s$ 作为截距在 $y$ 轴上的上下移动方向，避免平移方向颠倒。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中线性规划章节的标准基础例题，重点考查数形结合的代数转化功底。
2. 结论推广：对于任何多边形凸多边形可行域，线性目标函数 $z=ax+by$ 的最优解（最大值或最小值）必然在区域的顶点处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-09 填-线性规划最值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域