2009-上海卷文-07 填-线性规划开区域

本题导读

考查线性规划。可行域顶点 $(3,6)$ 使 $z=x-2y$ 最小：$3-12=-9$。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(文)） 已知实数 $x$、$y$ 满足 $\{\begin{array}{l}y⩽2x,\\ y⩾-2x,\\ x⩽3,\end{array}$ 则目标函数 $z=x-2y$ 的最小值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 约束围成以 $(0,0)$、$(3,6)$、$(3,-6)$ 为顶点的区域（$x⩽3$ 截断两射线）。
2. $z(0,0)=0$，$z(3,6)=-9$，$z(3,-6)=15$，最小 $-9$。

✅【答案】

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$-9$

✍【详细解析】

Abstract

三条边界 $y=2x$、$y=-2x$、$x=3$ 围成的区域以 $O(0,0)$、$A(3,6)$、$B(3,-6)$ 为顶点。 直线 $x-2y=z$ 沿法向量 $(1,-2)$ 平移时 $z$ 增大，故在”最上”的顶点处取得最小值。 逐顶点代入：$z(O)=0$，$z(A)=3-2\times 6=-9$，$z(B)=3+12=15$。 所以最小值为 $-9$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划

核心方法：画可行域 + 顶点代入

避坑指南：约束不含 $x⩾0$，可行域是向左开口的角形区域被 $x=3$ 截断；最小值在 $(3,6)$，$z=3-12=-9$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二元约束 + 目标函数最值是上海卷填空常客。

结论推广：顶点 $O(0,0)$、$A(3,6)$、$B(3,-6)$ 逐个代入 $z=x-2y$。

方法推广：$y⩽2x$ 与 $y⩾-2x$ 的交集是”楔形”，只向右张开，画图别画反方向。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-11 填-线性规划最值
• 2011-上海卷文-09 填-线性规划最值
• 2009-新课标卷文-06 单-线性规划开区域