2008-大纲卷I理-21 解-等差数列

本题导读

本题考查双曲线的几何性质（渐近线、离心率）以及直线与双曲线的相交问题。核心在于利用向量的方向条件确立几何特征，通过等差数列性质求出基本量的比例，进而利用弦长公式确定标准方程。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(理)） 双曲线的中心为原点 $O$，焦点在 $x$ 轴上，两条渐近线分别为 $l_1,l_2$，经过右焦点 $F$ 垂直于 $l_1$ 的直线分别交 $l_1,l_2$ 于 $A,B$ 两点. 已知 $|\overrightarrow{OA}|、|\overrightarrow{AB}|、|\overrightarrow{OB}|$ 成等差数列，且 $\overrightarrow{BF}$ 与 $\overrightarrow{FA}$ 同向.

(1) 求双曲线的离心率；

(2) 设 $AB$ 被双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：设出双曲线标准方程，写出渐近线方程及右焦点坐标。通过垂直关系求出直线 $AB$ 的方程以及交点 $A,B$ 的坐标，用基本量 $a,b,c$ 表示出线段长。利用 $\overrightarrow{BF}$ 与 $\overrightarrow{FA}$ 同向判定 $a>b$，再根据等差数列性质求得 $a$ 与 $b$ 的比例关系，从而解出离心率。
2. 第(2)问：将 $a$ 与 $b$ 的比例关系代入双曲线方程，联立直线 $AB$ 的方程，利用弦长公式建立关于参数的方程，求得 $a^2$ 和 $b^2$。

✅【答案】

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（1）设双曲线方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1，其中𝑎>0，𝑏>0，焦距参数满足𝑐2=𝑎2+𝑏2.

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$，右焦点为 $F(c,0)$。 渐近线 $l_1:y=\frac{b}{a}x\Rightarrow bx-ay=0$， $l_2:y=-\frac{b}{a}x$。 过 $F(c,0)$ 且垂直于 $l_1$ 的直线 $l_{AB}$ 斜率为 $-\frac{a}{b}$，方程为：$y=-\frac{a}{b}(x-c)\Rightarrow ax+by-ac=0$。

联立 $\{\begin{array}{l}bx-ay=0\\ ax+by-ac=0\end{array}$，解得点 $A$ 坐标为 $\left(\frac{a^2}{c},\frac{ab}{c}\right)$。 因此， $|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{{\left(\frac{a^2}{c}\right)}^2+{\left(\frac{ab}{c}\right)}^2}=\sqrt{\frac{a^2(a^2+b^2)}{c^2}}=a$。 因为 $l_{AB}\perp l_1$，所以在直角 $△OAB$ 中， $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{|\overrightarrow{OB}{|}^2-a^2}$。

联立 $\{\begin{array}{l}bx+ay=0\\ ax+by-ac=0\end{array}$，解得点 $B$ 坐标为 $\left(\frac{a^{2}c}{a^2-b^2},-\frac{abc}{a^2-b^2}\right)$。 从而 $|\overrightarrow{OB}|=\sqrt{\frac{a^4{c}^2+a^2{b}^2{c}^2}{(a^2-b^2{)}^2}}=\frac{ac\sqrt{a^2+b^2}}{|a^2-b^2|}=\frac{a{c}^2}{|a^2-b^2|}$。

由于 $\overrightarrow{BF}$ 与 $\overrightarrow{FA}$ 同向，焦点 $F$ 必在线段 $AB$ 之间，对应的横坐标需满足 $x_A<c<x_B$， 即 $\frac{a^2}{c}<c<\frac{a^{2}c}{a^2-b^2}$，可推出 $a^2-b^2>0\Rightarrow a>b$。 故 $|\overrightarrow{OB}|=\frac{a(a^2+b^2)}{a^2-b^2}$， 且 $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{|\overrightarrow{OB}{|}^2-a^2}=\sqrt{\frac{a^2{c}^4-a^2(a^2-b^2{)}^2}{(a^2-b^2{)}^2}}=\frac{2a^{2}b}{a^2-b^2}$。

因为 $|\overrightarrow{OA}|,|\overrightarrow{AB}|,|\overrightarrow{OB}|$ 成等差数列，所以 $2|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{OA}|+|\overrightarrow{OB}|$，即： $2\cdot \frac{2a^{2}b}{a^2-b^2}=a+\frac{a(a^2+b^2)}{a^2-b^2}$ 两边同除以 $a$ 并化简得： $\frac{4ab}{a^2-b^2}=\frac{a^2-b^2+a^2+b^2}{a^2-b^2}=\frac{2a^2}{a^2-b^2}\Rightarrow 4ab=2a^2\Rightarrow a=2b$ 故双曲线的离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2}=\sqrt{1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。

(2) 由(1)知 $a=2b$，则 $a^2=4b^2,c^2=5b^2$。 双曲线方程可化为：$x^2-4y^2=4b^2$。 直线 $AB$ 的方程为 $y=-2(x-c)$。 将直线方程代入双曲线方程得： $x^2-4[-2(x-c){]}^2=4b^2\Rightarrow 15x^2-32cx+16c^2+4b^2=0$ 将 $4b^2=\frac{4}{5}{c}^2$ 代入上式化简得： $75x^2-160cx+84c^2=0$ 设直线与双曲线交点的横坐标分别为 $x_1,x_2$，则： $x_1+x_2=\frac{32}{15}c,x_1{x}_2=\frac{28}{25}{c}^2$ 由弦长公式得，被截线段长为： $L=\sqrt{1+(-2{)}^2}\cdot \sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}=\sqrt{5}\cdot \sqrt{{\left(\frac{32}{15}c\right)}^2-4\cdot \frac{28}{25}{c}^2}=\sqrt{5}\cdot \frac{4}{15}c=\frac{4\sqrt{5}}{15}c$ 已知 $L=4$，则 $\frac{4\sqrt{5}}{15}c=4\Rightarrow c=3\sqrt{5}$。 所以 $c^2=45$。 又因 $c^2=5b^2=45\Rightarrow b^2=9$，则 $a^2=4b^2=36$。 故所求双曲线方程为 $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{9}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线渐近线与焦点的几何垂直模型、点在直线上的向量同向转化、韦达定理与弦长公式。
2. 核心方法：齐次式参数统一法，将复杂的线段关系通过 $a=2b$ 简化为单一量的运算。
3. 避坑指南：第(1)问中 $\overrightarrow{BF}$ 与 $\overrightarrow{FA}$ 同向是隐藏的关键条件，据此判定 $a>b$ 从而隐去绝对值符号；第(2)问联立方程后，注意不要漏掉弦长公式前面的 $\sqrt{1+k^2}$ 因子。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于解析几何中著名的性质：从双曲线焦点向渐近线作垂线，垂足到原点的距离等于实半轴长 $a$，垂足到焦点的距离等于虚半轴长 $b$。
2. 结论推广：对于任意双曲线，从焦点向渐近线引垂线所构成的直角三角形，其三个顶点与双曲线基本量 $a,b,c$ 紧密相连，在解决离心率及位置关系问题时可直接作为几何基础。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-12 填-等差数列
• 2009-大纲卷I文-14 填-等差数列中项
• 2009-大纲卷II文-17 解-等差数列求和