2008-大纲卷II文-05 单-对数比较大小

本题导读

考查对数函数与比较大小。设 $t=\ln x\in (-1,0)$，则 $a=t$、$b=2t$、$c={\ln }^{3}x=t^3$；负数越乘越小、立方越乘越大，得 $b<a<c$，选 C。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(文)） 若 $x\in \left(e^{-1},1\right)$，$a=\ln x$，$b=2\ln x$，$c={\ln }^{3}x$，则()

A. $a<b<c$　　　　　B. $c<a<b$　　　　　C. $b<a<c$　　　　　D. $b<c<a$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $e^{-1}<x<1$ 得 $t=\ln x\in (-1,0)$。
2. $a=t$，$b=2t$，$c=t^3$。
3. $t<0$ 时 $2t<t$；$-1<t<0$ 时 $t^3>t$（如 $(-0.5{)}^3=-0.125>-0.5$）。
4. 排序得 $b<a<c$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由 $e^{-1}<x<1$，得 $t=\ln x\in (-1,0)$，且 $a=t$，$b=2t$，$c=t^3$. 因为 $t<0$，所以 $2t<t$，即 $b<a$. 又 $c-a=t^3-t=t(t-1)(t+1)$，当 $-1<t<0$ 时 $t<0$、$t-1<0$、$t+1>0$，故 $t^3-t>0$，即 $a<c$. 综上 $b<a<c$. 故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数函数单调性与比较大小

核心方法：设 $t=\ln x\in (-1,0)$：$2t<t<t^3$，即 $b<a<c$

避坑指南：换元 $t=\ln x$ 后三个量变成 $t$、$2t$、$t^3$；$t<0$ 时 $2t<t$（乘 2 反而变小）；$t\in (-1,0)$ 时 $t^3>t$（立方向零靠拢）；取 $t=-\frac{1}{2}$ 特值可快速验证。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指对数比较大小是高频小题，2009 大纲Ⅱ文第 7 题、2010 大纲Ⅰ文第 10 题同型。

结论推广：$\ln x$ 在 $(0,+\infty )$ 递增；$t<0$ 时 $t^3>t$、$kt<t$（$k>1$）；特值法 $t=-\frac{1}{2}$：$-1<-0.5<-0.125$。

方法推广：区间型比较大小优先换元统一变量；负数区间”乘法缩小、乘方靠近零”是易错点，用特值检验最保险。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-07 单-对数比较大小
• 2010-大纲卷I文-10 单-指对数比较大小
• 2011-重庆卷文-06 单-对数比较大小
• 2009-天津卷文-05 单-指对数比较大小