2009-天津卷文-05 单-指对数比较大小

本题导读

考查比大小。$a={\log }_{\frac{1}{3}}2<0$，$c={\left(\frac{1}{2}\right)}^{0.3}\in (0,1)$，$b={\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}>1$，故 $a<c<b$。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(文)） 设 $a={\log }_{\frac{1}{3}}2$，$b={\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}$，$c={\left(\frac{1}{2}\right)}^{0.3}$，则 ()

A. $a<b<c$　　　　　B. $a<c<b$　　　　　C. $b<c<a$　　　　　D. $b<a<c$

🔍【思路分析】

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1. $a={\log }_{\frac{1}{3}}2$：底小于 $1$、真数大于 $1$，故 $a<0$。
2. $b={\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}$：$0<\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$ 且底 $\frac{1}{2}<1$，故 $b>1$。
3. $c=2^{-0.3}\in (2^{-1},1)=(0,1)$。故 $a<c<b$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

$a={\log }_{\frac{1}{3}}2$：底 $\frac{1}{3}\in (0,1)$，真数 $2>1$，故 $a<0$。 $b={\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}$：由 $\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$ 且对数函数 $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ 递减，得 $b>{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}=1$。 $c={\left(\frac{1}{2}\right)}^{0.3}=2^{-0.3}$，由 $0<0.3<1$ 得 $2^{-1}<c<1$，即 $c\in (0,1)$。 综上 $a<0<c<1<b$，即 $a<c<b$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数函数与对数函数的性质、比较大小

核心方法：统一媒介值分段比较

避坑指南：三类数各归各段：$a<0$、$c\in (0,1)$、$b>1$，与 $0$、$1$ 两个媒介值比较即可，别硬算数值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指对幂比大小是天津卷常考小题。

结论推广：${\log }_{\frac{1}{3}}2<0$（底小真大）；${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}>1$（底小真小）；$2^{-0.3}\in (2^{-1},1)$。

方法推广：用单调性给每个数定位到 $(-\infty ,0)$、$(0,1)$、$(1,+\infty )$ 三段之一，一次排定。

🔗【关联脉络】

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