2008-大纲卷II文-10 单-辅助角公式最值

本题导读

考查辅助角公式与最值。$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$，最大值为 $\sqrt{2}$，选 B。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(文)） 函数 $f(x)=\sin x-\cos x$ 的最大值为()

A. $1$　　　　　　　B. $\sqrt{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取 $\sqrt{2}$：$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)$。
2. 用辅助角公式化为 $\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$。
3. 正弦型函数最大值为振幅 $\sqrt{2}$。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

由辅助角公式， $f(x)=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right).$ 所以 $f(x)$ 的最大值为 $\sqrt{2}$. 故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：辅助角公式与正弦型函数最值

核心方法：$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$，最大值 $\sqrt{2}$

避坑指南：$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$，$\tan \phi =\frac{b}{a}$；最大值为振幅 $\sqrt{a^2+b^2}$，与相位无关。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：辅助角公式求最值是三角必会技，2013 天津文第 6 题、2010 江西文第 6 题同型。

结论推广：$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$；$1^2+(-1{)}^2=2$。

方法推广：记牢”最大值 $=\sqrt{a^2+b^2}$“可秒答；若求取最大值时的 $x$，才需要解相位方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-06 单-三角函数最值
• 2010-江西卷文-06 单-二次型三角函数值域
• 2012-山东卷文-08 单-三角函数区间最值
• 2009-陕西卷文-17 解-三角解析式与最值