2010-江西卷文-06 单-二次型三角函数值域

本题导读

考查二次型值域。令 $t=\sin x\in [-1,1]$，$y=t^2+t-1$ 在 $t=-\frac{1}{2}$ 取最小 $-\frac{5}{4}$，$t=1$ 取最大 $1$，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(文)） 函数 $y={\sin }^{2}x+\sin x-1$ 的值域为()

A. $[-1,1]$　　　B. $\left[-\frac{5}{4},-1\right]$　　　C. $\left[-\frac{5}{4},1\right]$　　　D. $\left[-1,\frac{5}{4}\right]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $t=\sin x$，则 $t\in [-1,1]$。
2. $y=t^2+t-1={\left(t+\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{5}{4}$。
3. $t=-\frac{1}{2}\in [-1,1]$ 时最小 $-\frac{5}{4}$；$t=1$ 时最大 $1$。
4. 值域 $\left[-\frac{5}{4},1\right]$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

令 $t=\sin x$，由正弦函数的值域知 $t\in [-1,1]$，原函数化为 $y=t^2+t-1={\left(t+\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{5}{4}.$ 该二次函数在 $\left[-1,-\frac{1}{2}\right]$ 上递减、在 $\left[-\frac{1}{2},1\right]$ 上递增， 故 $t=-\frac{1}{2}$ 时取得最小值 $-\frac{5}{4}$；最大值在距对称轴较远的端点 $t=1$ 处取得，为 $1+1-1=1$. 故值域为 $\left[-\frac{5}{4},1\right]$，选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：换元法求二次型三角函数值域

核心方法：令 $t=\sin x\in [-1,1]$，化为闭区间上二次函数

避坑指南：最小值在 $t=-\frac{1}{2}$（对称轴）而非端点；最大值比较两端点距对称轴远近，$t=1$ 处得 $1$，别误取 $t=-1$ 的 $-1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角函数式含 ${\sin }^{2}x$ 与 $\sin x$ 的一次项时，换元是标准起手式。

结论推广：闭区间上二次函数最值按”对称轴在内取顶点、在外取端点”三步走，与区间端点谁远无关的错误口诀要警惕。

方法推广：本结构在数列、向量模、解析式中反复出现：$u^2+u-1$ 在 $[-1,1]$ 上的值域 $\left[-\frac{5}{4},1\right]$ 值得记牢。

🔗【关联脉络】

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• 2011-湖南卷文-08 单-值域交集取值
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