2012-山东卷文-08 单-三角函数区间最值

本题导读

本题考查正弦函数的图象与性质，以及给定区间上的最值。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(文)） 函数 $y=2\sin \left(\frac{\pi x}{6}-\frac{\pi }{3}\right)$（$0⩽x⩽9$）的最大值与最小值之和为()

A. $2-\sqrt{3}$　　　　　　B. $0$　　　　　　C. $-1$　　　　　　D. $-1-\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

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令 $t=\frac{\pi x}{6}-\frac{\pi }{3}$，$t\in \left[-\frac{\pi }{3},\frac{7\pi }{6}\right]$，最大值 $2$、最小值 $-\sqrt{3}$，和为 $2-\sqrt{3}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

令 $t=\frac{\pi x}{6}-\frac{\pi }{3}$。由 $0⩽x⩽9$ 得 $-\frac{\pi }{3}⩽t⩽\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}+\frac{2\pi }{3}=\frac{7\pi }{6}$，即 $t\in \left[-\frac{\pi }{3},\frac{7\pi }{6}\right]$。

在该区间内 $\sin t$ 的最大值为 $1$（$t=\frac{\pi }{2}$ 时），最小值为 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$（$t=-\frac{\pi }{3}$ 时）。

故 $y$ 的最大值为 $2$，最小值为 $-2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}$，两者之和为 $2-\sqrt{3}$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦型函数在给定区间上的最值；整体换元法

核心方法：整体换元把区间转化为 $t$ 的范围，再借正弦曲线定最值

避坑指南：$t$ 的上界是 $\frac{\pi x}{6}{|}_{x=9}=\frac{3\pi }{2}$ 减去 $\frac{\pi }{3}$ 得 $\frac{7\pi }{6}$，不是 $9-\frac{\pi }{3}$；最小值在 $t=-\frac{\pi }{3}$ 处取得，不在 $t=\frac{7\pi }{6}$ 处（该处为 $-\frac{1}{2}$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦型函数区间最值题，与 2014 年大纲卷文第 14 题、2013 年天津卷文第 6 题同族。

结论推广：$y=A\sin (\omega x+\phi )$ 在 $x\in [m,n]$ 上的最值，只需考察 $t=\omega x+\phi \in [\omega m+\phi ,\omega n+\phi ]$ 内 $\sin t$ 的最值。

方法推广：三角函数区间最值三步：换元 → 求 $t$ 区间 → 在标准正弦曲线上找最大最小并乘上 $A$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-14 填-三角函数最值
• 2013-天津卷文-06 单-三角函数最值
• 2013-新课标I卷文-16 填-三角函数最值