2008-大纲卷II文-22 解-椭圆直线交点与面积最值

本题导读

考查直线与椭圆。椭圆 $x^2/4+y^2=1$，$E$、$F$ 关于原点对称。$ED=6DF$ 化为 $7x_D=5x_E$，得 $24k^2-25k+6=0$，$k=\frac{2}{3}$ 或 $\frac{3}{8}$；面积 $S=\frac{2(1+2k)}{\sqrt{1+4k^2}}$，$k=\frac{1}{2}$ 时最大 $2\sqrt{2}$。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(文)） 设椭圆中心在坐标原点，$A(2,0)$，$B(0,1)$ 是它的两个顶点，直线 $y=kx$（$k>0$）与 $AB$ 相交于点 $D$，与椭圆相交于 $E$、$F$ 两点.

(1)若 $\overrightarrow{ED}=6\overrightarrow{DF}$，求 $k$ 的值；

(2)求四边形 $AEBF$ 面积的最大值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 椭圆方程 $x^2/4+y^2=1$；$AB$：$y=1-\frac{x}{2}$。
2. $D$：$kx=1-\frac{x}{2}$，$x_D=\frac{2}{2k+1}$；$E$：$x_E=\frac{2}{\sqrt{1+4k^2}}$，$F=-E$。
3. $ED=6DF$ 沿 $x$ 坐标比例：$x_D+x_E=6(x_E-x_D)$，即 $7x_D=5x_E$，解出 $k$。
4. $S=S_{△ABE}+S_{△ABF}=\frac{1}{2}|AB|(d_E+d_F)$，$E$、$F$ 在 $AB$ 两侧，化简得 $S=\frac{2(1+2k)}{\sqrt{1+4k^2}}$，求最大值。

✅【答案】

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(1)$k=\frac{2}{3}$ 或 $k=\frac{3}{8}$；(2)四边形 $AEBF$ 面积的最大值为 $2\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $A(2,0)$、$B(0,1)$ 为顶点，椭圆方程为 $\frac{x^2}{4}+y^2=1.$(1)直线 $AB$：$\frac{x}{2}+y=1$，即 $y=1-\frac{x}{2}$. 由 $\{\begin{array}{l}y=kx,\\ y=1-\frac{x}{2},\end{array}$ 得 $x_D=\frac{2}{2k+1}$. 由 $\{\begin{array}{l}y=kx,\\ \frac{x^2}{4}+y^2=1,\end{array}$ 得 $x^2\left(\frac{1}{4}+k^2\right)=1$，设 $E\left(x_E,k{x}_E\right)$（$x_E>0$），则 $x_E=\frac{2}{\sqrt{1+4k^2}}$；由对称性 $F\left(-x_E,-k{x}_E\right)$. 由 $\overrightarrow{ED}=6\overrightarrow{DF}$，$D$ 在线段 $EF$ 上且分 $EF$ 为 $6:1$，沿 $x$ 坐标 $x_D-x_F=6\left(x_E-x_D\right)\Rightarrow x_D+x_E=6x_E-6x_D\Rightarrow 7x_D=5x_E.$ 代入得 $\frac{14}{2k+1}=\frac{10}{\sqrt{1+4k^2}}\Rightarrow 7\sqrt{1+4k^2}=5(2k+1).$ 两边平方：$49(1+4k^2)=25(4k^2+4k+1)$，整理得 $24k^2-25k+6=0\Rightarrow k=\frac{25\pm 7}{48},$ 即 $k=\frac{2}{3}$ 或 $k=\frac{3}{8}$（均为正，满足 $k>0$）. (2)$E$、$F$ 分别在直线 $AB$ 的两侧，以 $AB$ 为底： $S=S_{△ABE}+S_{△ABF}=\frac{1}{2}|AB|\left(d_E+d_F\right),|AB|=\sqrt{5}.$ 点到直线 $x+2y-2=0$ 的距离： $d_E=\frac{x_E(1+2k)-2}{\sqrt{5}},d_F=\frac{x_E(1+2k)+2}{\sqrt{5}},$ 相加得 $S=\frac{1}{2}\sqrt{5}\times \frac{2x_E(1+2k)}{\sqrt{5}}=x_E(1+2k)=\frac{2(1+2k)}{\sqrt{1+4k^2}}.$ 记 $u(k)=\frac{2(1+2k)}{\sqrt{1+4k^2}}$，则 $u^2(k)=\frac{4(1+2k{)}^2}{1+4k^2}.$对 $g(k)=\frac{(1+2k{)}^2}{1+4k^2}$ 求导， $g^{\prime }(k)=\frac{4(1+2k)(1-2k)}{{\left(1+4k^2\right)}^2},$ $k>0$ 时 $g(k)$ 在 $\left(0,\frac{1}{2}\right)$ 递增、在 $\left(\frac{1}{2},+\infty \right)$ 递减，故 $k=\frac{1}{2}$ 时取最大值. $u\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2\times 2}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.$ 故四边形 $AEBF$ 面积的最大值为 $2\sqrt{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆中的向量比例与面积最值

核心方法：$7x_D=5x_E$ 得 $24k^2-25k+6=0$；$S=\frac{2(1+2k)}{\sqrt{1+4k^2}}$ 在 $k=\frac{1}{2}$ 取 $2\sqrt{2}$

避坑指南：椭圆关于原点对称 $\Rightarrow$ $E$、$F$ 坐标互为相反；向量比例 $\overrightarrow{ED}=6\overrightarrow{DF}$ 落到 $x$ 坐标比例；面积以 $AB$ 为公共底，$E$、$F$ 异侧距离相加；最值对 $k$ 求导或换元。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆与直线综合是大纲卷压轴题，2009 大纲Ⅱ文第 22 题、2009 天津文第 22 题同型。

结论推广：$x_E=\frac{2}{\sqrt{1+4k^2}}$；共线向量比例保持坐标比例；$d=\frac{|x_0+2y_0-2|}{\sqrt{5}}$；$u(k)$ 最值用求导判单调。

方法推广：对称性先用足（$F=-E$ 省一半运算）；比例条件 $\overrightarrow{ED}=6\overrightarrow{DF}$ 方向别反（$D$ 靠近 $F$）；面积化简后分子分母都含 $k$，求导一次即可定最值点 $k=\frac{1}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-22 解-椭圆存在点与直线
• 2009-天津卷文-22 解-椭圆平行比例与外接圆
• 2009-广东卷文-19 解-椭圆与包围圆
• 2009-四川卷文-21 解-椭圆向量模长