2009-广东卷文-19 解-椭圆与包围圆

本题导读

考查椭圆与圆。 $G : \frac{x ^{2}}{36} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ ； $S_{△ A_{k} F_{1} F_{2}} = 63$ ； $(k + 6)^{2} + 4 ⩽ k^{2} + 25$ 与 $(k - 6)^{2} + 4 ⩽ k^{2} + 25$ 矛盾，不存在。

📌【题干】

Question

（2009年广东卷(文)）已知椭圆 $G$ 的中心在坐标原点，长轴在 $x$ 轴上，离心率为 $\frac{3}{2}$ ，两个焦点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ，椭圆 $G$ 上一点到 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 的距离之和为 $12$ . 圆 $C_{k} : x^{2} + y^{2} + 2 k x - 4 y - 21 = 0$ （ $k \in R$ ）的圆心为点 $A_{k}$ .

(1)求椭圆 $G$ 的方程；

(2)求 $△ A_{k} F_{1} F_{2}$ 面积；

(3)问是否存在圆 $C_{k}$ 包围椭圆 $G$ ？请说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1.（1） $2 a = 12 \Rightarrow a = 6$ ； $e = \frac{c}{a} = \frac{3}{2} \Rightarrow c = 33$ ； $b^{2} = 36 - 27 = 9$ 。 2.（2）配方： $(x + k)^{2} + (y - 2)^{2} = k^{2} + 25$ ，圆心 $A_{k} = (- k, 2)$ 。 3. $∣ F_{1} F_{2} ∣ = 63$ ，高为 $2$ ，面积 $\frac{1}{2} \times 63 \times 2 = 63$ 。 4.（3）顶点 $(\pm 6, 0)$ 都在圆内： $(k + 6)^{2} + 4 ⩽ k^{2} + 25 \Rightarrow k ⩽ - \frac{5}{4}$ ； $(k - 6)^{2} + 4 ⩽ k^{2} + 25 \Rightarrow k ⩾ \frac{5}{4}$ 。 5. 两条件矛盾，不存在。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $\frac{x ^{2}}{36} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ ；(2) $63$ ；(3)不存在，理由见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）设椭圆 $G$ 的长半轴、短半轴和半焦距分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ 。由椭圆定义， $2 a = 12$ ，得 $a = 6$ 。又由离心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{3}{2}$ ，得 $c = 33$ 。在椭圆中 $b^{2} = a^{2} - c^{2}$ ，所以 $b^{2} = 36 - 27 = 9$ 。由于长轴在 $x$ 轴上，椭圆方程为 $\frac{x ^{2}}{36} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ 。（2）将圆 $C_{k}$ 的方程配方，得 $(x + k)^{2} + (y - 2)^{2} = k^{2} + 25$ ，所以圆心 $A_{k} = (- k, 2)$ ，焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 在 $x$ 轴上，且 $∣ F_{1} F_{2} ∣ = 2 c = 63$ 。三角形 $A_{k} F_{1} F_{2}$ 的底边为 $F_{1} F_{2}$ ，高为点 $A_{k}$ 到 $x$ 轴的距离 $2$ ，故 $S_{△ A_{k} F_{1} F_{2}} = \frac{1}{2} \times 63 \times 2 = 63$ 。（3）若圆 $C_{k}$ 包围椭圆 $G$ ，则椭圆的两个顶点 $(6, 0)$ ， $(- 6, 0)$ 都在圆内或圆上。由圆的方程，点 $(6, 0)$ 到圆心 $A_{k}$ 的距离平方为 $(k + 6)^{2} + 4$ ，于是 $(k + 6)^{2} + 4 ⩽ k^{2} + 25$ ，即 $k ⩽ - \frac{5}{4}$ 。同理，点 $(- 6, 0)$ 到圆心的距离平方为 $(k - 6)^{2} + 4$ ，从而 $(k - 6)^{2} + 4 ⩽ k^{2} + 25$ ，即 $k ⩾ \frac{5}{4}$ 。两个条件不能同时成立，所以不存在这样的圆 $C_{k}$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆方程与圆的位置

核心方法： $2 a = 12$ 、 $e$ 定三参数；圆配方得圆心与半径；包围 $⟺$ 全部顶点在圆内

避坑指南： $A_{k} = (- k, 2)$ 与 $x$ 轴距离恒为 $2$ ，面积 $63$ 与 $k$ 无关；两个不等式分别给 $k ⩽ - \frac{5}{4}$ 与 $k ⩾ \frac{5}{4}$ ，矛盾。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“包围”要椭圆上所有点在圆内，抓最远的顶点 $(\pm 6, 0)$ 即可（长轴端点）。

结论推广：圆的一般方程配方：圆心 $(- k, 2)$ ， $r = k^{2} + 25$ 。

方法推广：不存在性证明的标准写法：导出两个矛盾的不等式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

18.01 椭圆专题全总结

17.03 点与圆的位置关系

类题演练 (Links)

2009-北京卷文-13 填-椭圆焦点三角形

2009-上海卷文-12 填-椭圆焦点三角形面积

2009-大纲卷II文-22 解-椭圆存在点与直线

2009-天津卷文-22 解-椭圆平行比例与外接圆

∑ ( Math )

Explorer

2009-广东卷文-19 解-椭圆与包围圆

📌【题干】

🔍【思路分析】

✅【答案】

✍【详细解析】

💡【考点归纳与避坑指南】

📖【试题探源与推广】

🔗【关联脉络】

Backlinks