2008-大纲卷II理-02 单-复数

本题导读

本题考查复数的乘方运算与复数分类性质。解题核心在于通过立方公式展开，并将“复数为实数”转化为虚部为零的代数式。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(理)） 设 $a,b\in \mathbf{R}$ 且 $b\ne 0$，若复数 $(a+b\text{i}{)}^3$ 是实数，则 ()

A. $b^2=3a^2$　　　B. $a^2=3b^2$　　　C. $b^2=9a^2$　　　D. $a^2=9b^2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用完全立方公式将 $(a+b\text{i}{)}^3$ 展开，并结合 ${\text{i}}^2=-1,{\text{i}}^3=-\text{i}$ 进行化简。
2. 将展开后的复数整理为实部与虚部相分离的标准形式。
3. 根据复数为实数的充要条件（虚部等于 0），结合 $b\ne 0$ 导出 $a$ 与 $b$ 的关系。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

利用完全立方公式展开已知复数： $(a+b\text{i}{)}^3=a^3+3a^2(b\text{i})+3a(b\text{i}{)}^2+(b\text{i}{)}^3$ 代入 ${\text{i}}^2=-1$，${\text{i}}^3=-\text{i}$ 进一步化简得： $(a+b\text{i}{)}^3=a^3+3a^{2}b\text{i}-3a{b}^2-b^3\text{i}=(a^3-3a{b}^2)+(3a^{2}b-b^3)\text{i}$ 因为该复数是实数，所以其虚部必须等于 0： $3a^{2}b-b^3=0\Rightarrow b(3a^2-b^2)=0$ 又因为 $b\ne 0$，两边同除以 $b$ 得： $3a^2-b^2=0\Rightarrow b^2=3a^2$ 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的乘方运算、实数的复数定义（虚部为 0）。
2. 核心方法：实虚部分离法。
3. 避坑指南：展开时注意 $\text{i}$ 的高次幂符号变化，特别是 $(b\text{i}{)}^3=-b^3\text{i}$，避免因符号错误导致虚部公式写错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中复数四则运算及复数基本概念的综合练习。
2. 结论推广：若复数 $(a+b\text{i}{)}^n(b\ne 0)$ 为实数，则在复平面上该复数对应的辐角 $\theta$ 满足 $\theta =\frac{k\pi }{n}(k\in \mathbf{Z})$。当 $n=3$ 时，$\tan \theta =\pm \sqrt{3}\Rightarrow \left|\frac{b}{a}\right|=\sqrt{3}\Rightarrow b^2=3a^2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-19 解-复数模与范围
• 2009-上海卷理-01 填-复数
• 2009-北京卷理-01 单-复数