2008-大纲卷II理-03 单-函数

本题导读

本题考查函数图像的基本对称性，属于基础性质题。通过验证函数解析式的奇偶性来确定图像的空间对称中心或对称轴。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(理)） 函数 $f(x)=\frac{1}{x}-x$ 的图像关于 ()

A. $y$ 轴对称　　　　　　　　　　　　　　　B. 直线 $y=-x$ 对称

C. 坐标原点对称　　　　　　　　　　　　　D. 直线 $y=x$ 对称

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定函数的定义域。
2. 计算 $f(-x)$ 的表达式，比对其与 $f(x)$ 的代数关系以判定函数的奇偶性。
3. 根据奇偶性对应的几何性质（奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于 y 轴对称）得出结论。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

函数 $f(x)=\frac{1}{x}-x$ 的定义域为 $\{x|x\ne 0\}$，关于原点对称。 在定义域内计算 $f(-x)$： $f(-x)=\frac{1}{-x}-(-x)=-\frac{1}{x}+x=-\left(\frac{1}{x}-x\right)=-f(x)$ 满足 $f(-x)=-f(x)$，因此函数 $f(x)$ 为奇函数。 根据几何性质，奇函数的图像关于坐标原点对称。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数奇偶性的代数判定及其几何意义。
2. 核心方法：定义法（计算 $f(-x)$ 并与 $\pm f(x)$ 比较）。
3. 避坑指南：注意不要将奇函数的对称性（关于原点中心对称）与反函数图像的对称性（关于直线 $y=x$ 对称）相混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中对数、指数以及反比例复合函数基本对称性质的考查。
2. 结论推广：形如 $f(x)=\frac{a}{x^n}-b{x}^n$ （$n$ 为奇数）的复合多项式分式函数均为奇函数，其图像关于坐标原点对称。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-上海卷文-04 填-框图分段函数
• 2009-上海卷文-13 填-奇函数与等差中项