2008-大纲卷II理-06 单-古典概型

本题导读

本题考查古典概型的概率计算。通过引入对立事件（全是男同学或全是女同学）简化计数过程，进而求出目标事件的概率。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(理)） 从 20 名男同学，10 名女同学中任选 3 名参加体能测试，则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为 ()

A. $\frac{9}{29}$　　　　　　B. $\frac{10}{29}$　　　　　　C. $\frac{19}{29}$　　　　　　D. $\frac{20}{29}$

🔍【思路分析】

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1. 计算从 30 名同学中任选 3 名的总基本事件数。
2. 分析目标事件“既有男又有女”的对立事件，即“全是男同学”或“全是女同学”。
3. 算出对立事件的概率，利用 $P(A)=1-P(\bar{A})$ 得到结果。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

总人数为 $20+10=30$ 人，从中任选 3 人的总选法有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{3}\right)$ 种。 目标事件的对立事件为“选出的 3 人全为男同学”或“全为女同学”。 对立事件的选法总数为： $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{3}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)=\frac{20\times 19\times 18}{3\times 2\times 1}+\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=1140+120=1260\text{ 种}$ 总选法数为： $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{3}\right)=\frac{30\times 29\times 28}{3\times 2\times 1}=4060\text{ 种}$ 对立事件的概率为： $P(\bar{A})=\frac{1260}{4060}=\frac{9}{29}$ 因此，既有男同学又有女同学的概率为： $P(A)=1-P(\bar{A})=1-\frac{9}{29}=\frac{20}{29}$ 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：组合数公式的应用、对立事件概率性质。
2. 核心方法：正难则反（间接法）。
3. 避坑指南：如果使用直接法，需分为“2男1女”和“1男2女”两类进行计算后求和，计算量相对稍大，需注意不要漏分类。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材中关于抽样组合概率以及对立事件化简的典型习题。
2. 结论推广：从 $M$ 个甲类元素和 $N$ 个乙类元素中任选 $k$ 个，包含两类元素的概率为 $1-\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{M}{k}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{k}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{M+N}{k}\right)}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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