2008-大纲卷II理-17 解-解三角形

本题导读

本题考查三角形中的三角恒等变换与解三角形基本公式的应用。第一问通过同角三角函数关系求出正弦值，利用诱导公式与两角和的正弦公式求解；第二问通过正弦定理建立边角关系，结合面积公式求出目标边长。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(理)） 在 $△ABC$ 中，$\cos B=-\frac{5}{13}$，$\cos C=\frac{4}{5}$.

(1) 求 $\sin A$ 的值；

(2) 设 $△ABC$ 的面积 $S_{△ABC}=\frac{33}{2}$，求 $BC$ 的长.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问：由已知两角的余弦值利用同角三角函数平方和关系求出其正弦值。再利用三角形内角和性质 $A=\pi -(B+C)$ 将 $\sin A$ 转化为 $\sin (B+C)$，展开即可。
2. 第(2)问：利用正弦定理将 $△ABC$ 的边 $b,c$ 用边 $a$ （即 $BC$）及相关角的正弦值表示。代入三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ 中构建关于 $a$ 的一元方程求解。

✅【答案】

点击查看答案

待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 在 $△ABC$ 中，因为 $\cos B=-\frac{5}{13}$， 所以 $B$ 为钝角， $\sin B=\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\sqrt{1-{\left(-\frac{5}{13}\right)}^2}=\frac{12}{13}$。 因为 $\cos C=\frac{4}{5}>0$，所以 $C$ 为锐角， $\sin C=\sqrt{1-{\cos }^{2}C}=\sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=\frac{3}{5}$。 由 $A+B+C=\pi$ 得 $A=\pi -(B+C)$， 所以 $\sin A=\sin [\pi -(B+C)]=\sin (B+C)=\sin B\cos C+\cos B\sin C$。 代入数据得： $\sin A=\frac{12}{13}\times \frac{4}{5}+\left(-\frac{5}{13}\right)\times \frac{3}{5}=\frac{48}{65}-\frac{15}{65}=\frac{33}{65}$

(2) 设 $BC=a,AC=b,AB=c$。 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 可得： $b=a\cdot \frac{\sin B}{\sin A},c=a\cdot \frac{\sin C}{\sin A}$ 代入三角形面积公式 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}bc\sin A$ 中得： $S_{△ABC}=\frac{1}{2}\cdot \left(a\cdot \frac{\sin B}{\sin A}\right)\cdot \left(a\cdot \frac{\sin C}{\sin A}\right)\cdot \sin A=\frac{1}{2}{a}^2\cdot \frac{\sin B\sin C}{\sin A}$ 将已知的面积与各角正弦值代入上式： $\frac{33}{2}=\frac{1}{2}{a}^2\cdot \frac{\frac{12}{13}\times \frac{3}{5}}{\frac{33}{65}}=\frac{1}{2}{a}^2\cdot \frac{\frac{36}{65}}{\frac{33}{65}}=\frac{1}{2}{a}^2\times \frac{36}{33}=\frac{18}{33}{a}^2=\frac{6}{11}{a}^2$ 解得： $a^2=\frac{33}{2}\times \frac{11}{6}=\frac{121}{4}$ 因为 $a>0$，所以 $a=\frac{11}{2}$。 即 $BC$ 的长为 $\frac{11}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角形内角和与诱导公式的转化、两角和正弦公式、正弦定理与面积通式的结合。
2. 核心方法：统一设元边角互化。
3. 避坑指南：第(1)问中由于 $\cos B<0$，在代入两角和公式时务必注意其负号保留，避免错算成 $\frac{48+15}{65}$；第(2)问注意面积公式的选择，统一为单一未知边 $a$ 避免多变量联立产生计算冗余。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中关于已知两角求第三角、以及结合面积解三角形的经典中档题。
2. 结论推广：在任意 $△ABC$ 中，已知其中两角的正弦值与余弦值，其面积与对边 $a$ 的定量关系恒满足 $a=\sqrt{\frac{2S\cdot \sin A}{\sin B\sin C}}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-06 填-三角函数
• 2009-四川卷理-04 单-三角函数
• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数