2008-大纲卷II理-21 解-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的相交弦以及不规则多边形面积最值的求解。第一问通过引入原点对称性简化点坐标，结合向量共线关系建立关于斜率的方程；第二问利用对角线向量关系将四边形面积表达为坐标线性式，进而利用柯西不等式求解最大值。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(理)） 设椭圆中心在坐标原点， $A(2,0),B(0,1)$ 是它的两个顶点，直线 $y=kx(k>0)$ 与 $AB$ 相交于点 $D$，与椭圆相交于 $E、F$ 两点.

(1) 若 $\overrightarrow{ED}=6\overrightarrow{DF}$，求 $k$ 的值；

(2) 求四边形 $AEBF$ 面积的最大值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据顶点 $A(2,0),B(0,1)$ 的坐标，写出椭圆标准方程 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 和直线 $AB$ 的方程 $x+2y-2=0$。
2. 第(1)问：联立直线与对应方程分别表示出点 $D$ 的横坐标及点 $E,F$ 的横坐标关系。利用 $E,F$ 关于原点对称（即 $x_E=-x_F$），将向量条件 $\overrightarrow{ED}=6\overrightarrow{DF}$ 转化为一元二次方程求解 $k$。
3. 第(2)问：将四边形 $AEBF$ 的面积用对角线向量的交叉乘积项 $S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{EF}|$ 简化展开为关于 $F$ 点坐标的线性组合 $x_F+2y_F$，进而结合椭圆方程利用柯西不等式直接求出最大值。

✅【答案】

点击查看答案

𝑘=23或𝑘=38；四边形𝐴𝐸𝐵𝐹面积的最大值为2√2.

✍【详细解析】

Abstract

由题意，椭圆的顶点在坐标轴上，且 $a=2,b=1$，故椭圆的标准方程为： $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 已知 $A(2,0),B(0,1)$，由截距式可得直线 $AB$ 的方程为 $\frac{x}{2}+\frac{y}{1}=1$，即： $x+2y-2=0$

(1) 联立直线 $y=kx$ 与直线 $AB$ 的方程： $\{\begin{array}{l}y=kx\\ x+2y-2=0\end{array}\Rightarrow x_D=\frac{2}{1+2k}$ 联立直线 $y=kx$ 与椭圆方程： $\frac{x^2}{4}+k^2{x}^2=1\Rightarrow x^2=\frac{4}{1+4k^2}$ 设 $F(x_F,y_F)$ 为第一象限的交点，则 $x_F=\frac{2}{\sqrt{1+4k^2}}$。 由于直线 $y=kx$ 经过椭圆中心（原点），其与椭圆的两个交点 $E,F$ 必然关于原点对称，故 $x_E=-x_F$。 由向量关系 $\overrightarrow{ED}=6\overrightarrow{DF}$，考查其横坐标分量可得： $x_D-x_E=6(x_F-x_D)\Rightarrow 7x_D=x_E+6x_F$ 将 $x_E=-x_F$ 代入上式简化得： $7x_D=5x_F$ 将 $x_D$ 和 $x_F$ 的表达式代入： $7\times \frac{2}{1+2k}=5\times \frac{2}{\sqrt{1+4k^2}}\Rightarrow \frac{7}{1+2k}=\frac{5}{\sqrt{1+4k^2}}$ 两边平方得： $\frac{49}{1+4k+4k^2}=\frac{25}{1+4k^2}$ $49(1+4k^2)=25(1+4k+4k^2)\Rightarrow 96k^2-100k+24=0$ 两边同除以 4 得： $24k^2-25k+6=0\Rightarrow (8k-3)(3k-2)=0$ 解得 $k=\frac{3}{8}$ 或 $k=\frac{2}{3}$。 经检验，两个解均满足 $k>0$，故 $k$ 的值为 $\frac{3}{8}$ 或 $\frac{2}{3}$。

(2) 设 $F(x_F,y_F)$ 在第一象限，则 $E(-x_F,-y_F)$。 四边形 $AEBF$ 的两条对角线分别为 $AB$ 和 $EF$，对应的向量分别为： $\overrightarrow{AB}=(-2,1),\overrightarrow{EF}=(2x_F,2y_F)$ 根据对角线几何性质，四边形 $AEBF$ 的面积可表示为： $S=\frac{1}{2}|(-2)\times 2y_F-1\times 2x_F|=|x_F+2y_F|$ 因为 $F$ 在第一象限，故 $S=x_F+2y_F$。 又因点 $F(x_F,y_F)$ 在椭圆上，满足 ${\left(\frac{x_F}{2}\right)}^2+y_F^2=1$， 由柯西不等式可得： $S=x_F+2y_F=2\times \left(\frac{x_F}{2}\right)+2\times y_F\le \sqrt{(2^2+2^2)\times \left[{\left(\frac{x_F}{2}\right)}^2+y_F^2\right]}=\sqrt{8\times 1}=2\sqrt{2}$ 当且仅当 $\frac{2}{x_F/2}=\frac{2}{y_F}\Rightarrow x_F=2y_F$ 时等号成立。 此时对应直线的斜率 $k=\frac{y_F}{x_F}=\frac{1}{2}>0$，符合题意。 故四边形 $AEBF$ 面积的最大值为 $2\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线与椭圆联立的代数处理、中心对称性质的化简应用、不规则四边形面积的向量表示法。
2. 核心方法：柯西不等式求最值（或三角换元法）。
3. 避坑指南：第(1)问中容易忽视 $E,F$ 关于原点对称的隐含特征而盲目采用双变量韦达定理，导致运算量过大；第(2)问利用对角线向量外积公式求解四边形面积最为高效，避免了繁琐的三角形面积拆分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于解析几何中关于通过椭圆中心的直线的弦长对称性质，并结合了二维向量外积度量多边形面积的经典考查模型。
2. 结论推广：对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其在轴上的两个顶点分别为 $A(a,0),B(0,b)$。通过原点的任意直线交椭圆于 $E,F$ 两点，则四边形 $AEBF$ 面积的最大值恒为 $\sqrt{2}ab$。本题 $a=2,b=1$，代入得最大面积为 $2\sqrt{2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-21 解-椭圆向量模长
• 2009-大纲卷I文-12 单-椭圆准线向量
• 2010-上海卷文-23 解-椭圆向量与中点弦