2008-天津卷文-17 解-三角降幂周期最值

本题导读

考查降幂与辅助角。$f(x)=\sqrt{2}\sin \left(2\omega x+\frac{\pi }{4}\right)+2$，周期 $\frac{\pi }{2}$ 得 $\omega =2$；最大值 $2+\sqrt{2}$，此时 $x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{2}$。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(文)） 已知函数 $f(x)=2{\cos }^2\omega x+2\sin \omega x\cos \omega x+1$（$x\in \mathbf{R}$，$\omega >0$）的最小正周期是 $\frac{\pi }{2}$.

(1)求 $\omega$ 的值；

(2)求函数 $f(x)$ 的最大值，并且求使 $f(x)$ 取得最大值的 $x$ 的集合.

🔍【思路分析】

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1. 降幂：$2{\cos }^2\omega x=1+\cos 2\omega x$，$2\sin \omega x\cos \omega x=\sin 2\omega x$，故 $f(x)=\sin 2\omega x+\cos 2\omega x+2$。
2. 辅助角：$f(x)=\sqrt{2}\sin \left(2\omega x+\frac{\pi }{4}\right)+2$，周期 $T=\frac{2\pi }{2\omega }=\frac{\pi }{\omega }=\frac{\pi }{2}\Rightarrow \omega =2$。
3. 最大值 $\sqrt{2}+2$；此时 $4x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+2k\pi$，解出 $x$ 的集合。

✅【答案】

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(1)$\omega =2$；(2)最大值为 $2+\sqrt{2}$，此时 $x$ 的集合为 $\left\{x\mid x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbf{Z}\right\}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)$f(x)=2{\cos }^2\omega x+2\sin \omega x\cos \omega x+1$ $=(1+\cos 2\omega x)+\sin 2\omega x+1=\sin 2\omega x+\cos 2\omega x+2=\sqrt{2}\sin \left(2\omega x+\frac{\pi }{4}\right)+2.$ 最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2\omega }=\frac{\pi }{\omega }=\frac{\pi }{2}$，所以 $\omega =2$. (2)由(1)，$f(x)=\sqrt{2}\sin \left(4x+\frac{\pi }{4}\right)+2$. 当 $4x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+2k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$），即 $x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{2}$（$k\in \mathbf{Z}$）时，$\sin \left(4x+\frac{\pi }{4}\right)=1$， $f(x{)}_{\max }=\sqrt{2}+2.$ 所以函数 $f(x)$ 的最大值为 $2+\sqrt{2}$，使 $f(x)$ 取得最大值的 $x$ 的集合为 $\left\{x\mid x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbf{Z}\right\}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：降幂与辅助角求周期最值

核心方法：$f(x)=\sqrt{2}\sin \left(2\omega x+\frac{\pi }{4}\right)+2$，$\omega =2$，$f_{\max }=2+\sqrt{2}$

避坑指南：$2{\cos }^2=1+\cos 2$、$2\sin \cos =\sin 2$ 两个降幂公式并行；辅助角合一后周期、最值一揽子解决；最值点解相位方程取 $k\pi$ 系列。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$a\sin +b\cos$ 型化简是三角解答题第一问标准动作，2010 山东文第 17 题、2012 北京文第 15 题同型。

结论推广：$T=\frac{2\pi }{{\omega }^{\prime }}$（${\omega }^{\prime }$ 为合成后 $x$ 的系数）；$\sin \theta =1⟺\theta =\frac{\pi }{2}+2k\pi$。

方法推广：周期条件解 $\omega$ 后，第二问必须代回具体解析式再求最值；$x$ 的集合写成 $x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{2}$（$k\in \mathbf{Z}$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2009-广东卷文-09 单-降幂奇偶周期
• 2010-山东卷文-17 解-三角周期与最值
• 2010-重庆卷文-06 单-三角周期与单调
• 2012-北京卷文-15 解-三角化简周期与单调