2012-北京卷文-15 解-三角化简周期与单调

本题导读

本题考查三角恒等变换。核心在于定义法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年北京卷(文)） 已知函数 $f(x)=\frac{(\sin x-\cos x)\sin 2x}{\sin x}$.

(1)求 $f(x)$ 的定义域及最小正周期；

(2)求 $f(x)$ 的单调递减区间.（本小题共 $13$ 分）

🔍【思路分析】

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化简得 $f(x)=\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)-1$（$x\ne k\pi$），周期 $\pi$，递减区间 $\left[k\pi +\frac{3\pi }{8},k\pi +\frac{7\pi }{8}\right]$。

✅【答案】

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(1)定义域 $\{x\mid x\ne k\pi ,k\in \mathbf{Z}\}$，最小正周期 $\pi$

(2)单调递减区间为 $\left[k\pi +\frac{3\pi }{8},k\pi +\frac{7\pi }{8}\right]$（$k\in \mathbf{Z}$）

✍【详细解析】

Abstract

（1）$\sin x$ 在分母，定义域为 $\{x\mid x\ne k\pi ,k\in \mathbf{Z}\}$。

此时 $f(x)=(\sin x-\cos x)\cdot \frac{2\sin x\cos x}{\sin x}=(\sin x-\cos x)\cdot 2\cos x$。

展开：$2\sin x\cos x-2{\cos }^{2}x=\sin 2x-(1+\cos 2x)=\sin 2x-\cos 2x-1=\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)-1$。

故最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。

（2）由 $2x-\frac{\pi }{4}\in \left[\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right]$（$k\in \mathbf{Z}$）得 $x\in \left[k\pi +\frac{3\pi }{8},k\pi +\frac{7\pi }{8}\right]$。

这些区间均不含 $k\pi$ 型点（端点 $\frac{3\pi }{8}$、$\frac{7\pi }{8}$ 都不是 $\pi$ 的整数倍），与定义域相容，故单调递减区间为 $\left[k\pi +\frac{3\pi }{8},k\pi +\frac{7\pi }{8}\right]$（$k\in \mathbf{Z}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等变换（约分、降幂、辅助角）；定义域；正弦型函数的周期与单调性

核心方法：先定定义域再约分 → 降幂合一化 $A\sin (\omega x+\phi )+B$ → 相位区间解单调

避坑指南：约分 $\frac{\sin 2x}{\sin x}$ 必须以定义域 $x\ne k\pi$ 为前提，定义域要单独写；化简 $2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x$ 时符号别错；求减区间解相位不等式时 $k$ 要写成整数集。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角化简与性质综合题，与 2013 年大纲卷文第 9 题、2014 年大纲卷文第 14 题（三角函数最值）同族。

结论推广：一般地，$(\sin x-\cos x)\cdot 2\cos x=\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)-1$；分式型三角函数先定定义域再化简，最后要检验单调区间与定义域相容。

方法推广：三角函数大题四步：定义域 → 约分降幂合一 → 周期 → 单调区间（解相位不等式）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-09 单-三角函数图象

• 2014-大纲卷文-14 填-三角函数最值