2008-天津卷理-01 单-复数

本题导读

本题考查复数的代数运算、虚数单位的性质。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(理)） $\text{i}$ 是虚数单位，$\frac{{\text{i}}^3(\text{i}+1)}{\text{i}-1}=$ ()

A. $-1$　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. $-\text{i}$　　　　　　　D. $\text{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用 ${\text{i}}^3=-\text{i}$ 化简分子。
2. 对分子进行乘法展开，再与分母进行约分或分子分母同乘共轭复数化简。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{{\text{i}}^3(\text{i}+1)}{\text{i}-1}=\frac{-\text{i}(\text{i}+1)}{\text{i}-1}=\frac{-{\text{i}}^2-\text{i}}{\text{i}-1}=\frac{1-\text{i}}{\text{i}-1}=\frac{1-\text{i}}{-(1-\text{i})}=-1$ 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：虚数单位的周期性（${\text{i}}^2=-1,{\text{i}}^3=-\text{i}$）及复数的除法运算。
2. 核心方法：直接因式分解法或分母实数化法。
3. 避坑指南：注意提取负号时 $\text{i}-1=-(1-\text{i})$ 的符号变化，避免粗心导致错选 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材中复数的四则运算基础练习题，旨在考查基本的代数变形功底。
2. 结论推广：对于虚数单位 $\text{i}$ 的高次幂，满足 ${\text{i}}^{4n+k}={\text{i}}^k(k\in \{0,1,2,3\},n\in \mathbb{Z})$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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• 2009-北京卷理-01 单-复数