2008-天津卷理-03 单-三角函数

本题导读

本题考查三角函数的周期性、三角函数的奇偶性。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(理)） 设函数 $f(x)=\sin \left(2x-\frac{\pi }{2}\right),x\in \mathbf{R}$，则 $f(x)$ 是 ()

A. 最小正周期为 $\pi$ 的奇函数　　　　　B. 最小正周期为 $\pi$ 的偶函数

C. 最小正周期为 $\frac{\pi }{2}$ 的奇函数　　　　D. 最小正周期为 $\frac{\pi }{2}$ 的偶函数

🔍【思路分析】

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1. 利用三角函数的诱导公式对 $f(x)=\sin \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)$ 进行化简，转化为最简形式。
2. 根据化简结果判定函数的奇偶性，并利用周期公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 计算最小正周期。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

对原函数应用诱导公式进行化简： $f(x)=\sin \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \left(\frac{\pi }{2}-2x\right)=-\cos 2x$ 因为 $f(-x)=-\cos (-2x)=-\cos 2x=f(x)$，所以 $f(x)$ 为偶函数。 其最小正周期为 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。 综上， $f(x)$ 是最小正周期为 $\pi$ 的偶函数。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：诱导公式 $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{2}\right)=-\cos \alpha$；余弦函数的性质。
2. 核心方法：公式化简与定义法判定。
3. 避坑指南：在提取负号应用诱导公式时容易记错符号，注意 $\sin (-\theta )=-\sin \theta$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材三角函数的图象与性质章节，考查对基本三角恒等变形及性质公式的熟练度。
2. 结论推广：函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 当 $\phi =k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$ 时为偶函数；当 $\phi =k\pi (k\in \mathbb{Z})$ 时为奇函数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-06 填-三角函数
• 2009-四川卷理-04 单-三角函数
• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数