2008-天津卷理-12 填-球

本题导读

本题考查球的体积与表面积、多面体外接球的几何性质，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(理)） 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为 $4\sqrt{3}\pi$，则该正方体的表面积为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由球的体积公式 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$ 逆求出外接球的半径 $R$。
2. 利用外接球模型结论，正方体的体对角线长 $\sqrt{3}a$ 等于球的直径 $2R$，求出正方体的棱长 $a$。
3. 利用表面积公式 $S=6a^2$ 得到最终结果。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

设正方体的棱长为 $a$，外接球的半径为 $R$。 由球的体积公式得： $\frac{4}{3}\pi R^3=4\sqrt{3}\pi ⟹R^3=3\sqrt{3}=(\sqrt{3}{)}^3⟹R=\sqrt{3}$ 因为正方体的各个顶点都在球面上，所以正方体的体对角线等于球的直径： $\sqrt{3}a=2R⟹\sqrt{3}a=2\sqrt{3}⟹a=2$ 所以该正方体的表面积为： $S=6a^2=6\times 2^2=24$

故答案为：24。#### 💡【考点归纳与避坑指南】 [!danger]

1. 核心考点：外接球半径与多面体核心特征结构（对角线、高、边长）的转换。
2. 核心方法：公式还原法与几何直观模型法。
3. 避坑指南：计算 $R^3=3\sqrt{3}$ 时，要准确化简为 $R=\sqrt{3}$，不要在开立方根时出错；区分清正方体的表面积公式（$6a^2$）与体积公式（$a^3$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自立体几何中多面体与旋转体切接问题的经典教材模型，是考查空间想象能力的必考内容。
2. 结论推广：若长方体的长、宽、高分别为 $x,y,z$，则其外接球的直径平方满足 $(2R{)}^2=x^2+y^2+z^2$。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-06 单-球的体积与表面积
• 2009-上海卷文-06 填-球表面积比
• 2009-大纲卷II文-16 填-球截面与表面积