2008-天津卷理-17 解-两角和差

本题导读

本题考查同角三角函数基本关系、两角和与差的正弦与余弦公式。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(理)） 已知 $\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{10},x\in \left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4}\right)$.

(1) 求 $\sin x$ 的值；

(2) 求 $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一步，由 $x$ 的取值范围确定 $x-\frac{\pi }{4}$ 的范围，从而利用平方关系求出 $\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$ 的值。再利用拼角 $x=\left(x-\frac{\pi }{4}\right)+\frac{\pi }{4}$ 展开求得 $\sin x$。
2. 第二步，根据第一步求出 $\cos x$，利用二倍角公式求出 $\sin 2x$ 和 $\cos 2x$，最后通过两角和的正弦公式展开 $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ 代入求值。

✅【答案】

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（1）令𝑢=𝑥−π4，则𝑢∈(π4,π2)，从而sin𝑢>0.由题设，

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 因为 $x\in \left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4}\right)$， 所以 $\frac{\pi }{4}<x-\frac{\pi }{4}<\frac{\pi }{2}$。 因此 $\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)>0$。 由 $\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{10}$ 得： $\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{1-{\cos }^2\left(x-\frac{\pi }{4}\right)}=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{2}}{10}\right)}^2}=\frac{7\sqrt{2}}{10}$ 由拼角关系 $x=\left(x-\frac{\pi }{4}\right)+\frac{\pi }{4}$ 可得： $\sin x=\sin \left[\left(x-\frac{\pi }{4}\right)+\frac{\pi }{4}\right]=\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\cos \frac{\pi }{4}+\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\sin \frac{\pi }{4}$ $\sin x=\frac{7\sqrt{2}}{10}\times \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{10}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{14}{20}+\frac{2}{20}=\frac{4}{5}$

(2) 由 $x\in \left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4}\right)$ 可知 $\cos x<0$。 由 (1) 中 $\sin x=\frac{4}{5}$ 得 $\cos x=-\sqrt{1-{\sin }^{2}x}=-\frac{3}{5}$。 根据二倍角公式： $\sin 2x=2\sin x\cos x=2\times \frac{4}{5}\times \left(-\frac{3}{5}\right)=-\frac{24}{25}$ $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x={\left(-\frac{3}{5}\right)}^2-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=-\frac{7}{25}$ 所以： $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin 2x\cos \frac{\pi }{3}+\cos 2x\sin \frac{\pi }{3}$ $=\left(-\frac{24}{25}\right)\times \frac{1}{2}+\left(-\frac{7}{25}\right)\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{-24-7\sqrt{3}}{50}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两角和与差的三角公式展开；二倍角公式；三角函数符号的象限判定。
2. 核心方法：拼角法（将未知角 $x$ 拆解为已知的两角组合 $x=(x-\theta )+\theta$）。
3. 避坑指南：在第 (2) 问求 $\cos x$ 时，务必根据 $x\in (\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4})$ 判定其为负值，若漏掉负号将直接导致二倍角计算错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中关于两角和与差公式的应用习题，是历年高考中考查三角恒等变换功底的经典大题。
2. 结论推广：对于已知 $\cos (x-\phi )=k$ 求 $x$ 相关三角函数的问题，利用 $x=(x-\phi )+\phi$ 进行整体变角是通用的最简路径。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-06 填-三角函数
• 2009-四川卷理-04 单-三角函数
• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数