2008-天津卷理-19 解-二面角

本题导读

本题考查线面垂直的判定与性质、异面直线所成的角。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(理)） 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是矩形. 已知 $AB=3,AD=2,PA=2,PD=2\sqrt{2},\angle PAB=60^{\circ }$.

(1) 证明 $AD\perp$ 平面 $PAB$;

(2) 求异面直线 $PC$ 与 $AD$ 所成的角的大小;

(3) 求二面角 $P-BD-A$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：在 $\Delta PAD$ 中利用勾股定理逆定理证出 $AD\perp PA$，再由矩形性质得 $AD\perp AB$，从而依据线面垂直判定定理获证。
2. 第二问：由 $AD\parallel BC$ 将异面直线 $PC$ 与 $AD$ 所成的角转化为 $\angle PCB$（或其补角），在 $\text{Rt}\Delta PBC$ 中利用边长关系求解。
3. 第三问：过点 $P$ 作 $PH\perp AB$ 于 $H$ 构造高线，以 $A$ 为原点， $AB,AD,AP$ 在底面的射影方向为轴建立空间直角坐标系，通过计算平面 $PBD$ 的法向量与底面法向量的夹角余弦值求得二面角大小。

✅【答案】

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所以∠𝑃𝐸𝐻是二面角𝑃−𝐵𝐷−𝐴的平面角

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 在 $\Delta PAD$ 中，因为 $PA=2,AD=2,PD=2\sqrt{2}$， 所以 $P{A}^2+A{D}^2=2^2+2^2=8=(2\sqrt{2}{)}^2=P{D}^2$。 根据勾股定理的逆定理， $AD\perp PA$。 因为四边形 $ABCD$ 是矩形，所以 $AD\perp AB$。 又 $PA\cap AB=A$，且 $PA,AB\subset$ 平面 $PAB$， 所以 $AD\perp$ 平面 $PAB$。

(2) 解： 因为底面 $ABCD$ 是矩形，所以 $AD\parallel BC$。 故异面直线 $PC$ 与 $AD$ 所成的角即为直线 $PC$ 与 $BC$ 所成的角 $\angle PCB$。 由 (1) 知 $AD\perp$ 平面 $PAB$，且 $AD\parallel BC$，所以 $BC\perp$ 平面 $PAB$。 因为 $PB\subset$ 平面 $PAB$，所以 $BC\perp PB$，即 $\Delta PBC$ 是直角三角形。 在 $\Delta PAB$ 中，由余弦定理： $P{B}^2=P{A}^2+A{B}^2-2PA\cdot AB\cdot \cos \angle PAB=2^2+3^2-2\times 2\times 3\times \cos 60^{\circ }=7⟹PB=\sqrt{7}$ 在 $\text{Rt}\Delta PBC$ 中， $BC=AD=2$， $\tan \angle PCB=\frac{PB}{BC}=\frac{\sqrt{7}}{2}$ 所以异面直线 $PC$ 与 $AD$ 所成的角的大小为 $\arctan \frac{\sqrt{7}}{2}$。

(3) 解： 过点 $P$ 作 $PH\perp AB$ 于 $H$。由 (1) 知 $AD\perp$ 平面 $PAB⟹AD\perp PH$。 又 $AB\cap AD=A$，故 $PH\perp$ 平面 $ABCD$。 以 $A$ 为原点， $AB,AD$ 所在直线分别为 $x,y$ 轴，过 $A$ 且垂直于底面的直线为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系 $A-xyz$。 在 $\text{Rt}\Delta PAH$ 中， $AH=PA\cdot \cos 60^{\circ }=1,PH=PA\cdot \sin 60^{\circ }=\sqrt{3}$。 相关点坐标为： $A(0,0,0),B(3,0,0),D(0,2,0),P(1,0,\sqrt{3})$。 易知平面 $ABD$ 的一个法向量为 ${\vec{n}}_1=(0,0,1)$。 设平面 $PBD$ 的法向量为 ${\vec{n}}_2=(x,y,z)$，由 $\overrightarrow{BD}=(-3,2,0),\overrightarrow{BP}=(-2,0,\sqrt{3})$ 可得： $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{BD}=-3x+2y=0\\ {\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{BP}=-2x+\sqrt{3}z=0\end{array}$ 令 $x=2$，解得 $y=3,z=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，即 ${\vec{n}}_2=\left(2,3,\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)$。 设二面角 $P-BD-A$ 的平面角为 $\theta$，由图可知 $\theta$ 为锐角，则： $\cos \theta =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{1\times \sqrt{2^2+3^2+{\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)}^2}}=\frac{4}{\sqrt{55}}$ 所以二面角 $P-BD-A$ 的大小为 $\arccos \frac{4}{\sqrt{55}}$（或 $\arctan \frac{\sqrt{39}}{4}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直的性质与判定定理；异面直线夹角与二面角的向量求法。
2. 核心方法：建系坐标向量法。
3. 避坑指南：第一问中切勿漏掉“$PA\cap AB=A$”这一相交条件；第三问建系时，因 $\angle PAB=60^{\circ }$， $PA$ 轴并不垂直于底面，切不可直接将 $AP$ 所在直线设为 $z$ 轴，必须通过作高线 $PH$ 找准垂直方向。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中关于“斜四棱锥与组合体空间角计算”的标准练习，通过给定的特定角度与勾股数组组合而成。
2. 结论推广：在四棱锥 $P-ABCD$ 中，若侧面与底面垂直，则侧面内的垂线即为整个锥体的高线，是空间建系的核心突破口。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

所以∠𝑃𝐸𝐻是二面角𝑃−𝐵𝐷−𝐴的平面角

类题演练 (Links)

• 2010-四川卷文-15 填-二面角线面角
• 2010-江西卷文-20 解-面面垂直线面角二面角
• 2010-重庆卷文-20 解-线面垂直二面角