2010-重庆卷文-20 解-线面垂直二面角

本题导读

考查垂直与二面角。$PA=AB=\sqrt{2}$ 且 $E$ 为 $PB$ 中点，$AE\perp PB$；$BC\perp$ 平面 $PAB$ 得 $BC\perp AE$，故 $AE\perp$ 平面 $PBC$。（2）$AD=1$ 时 $BE=BC=1$，$△BEC$ 等腰直角、$△CED$ 等边，取 $CE$ 中点 $F$，$BF\perp CE$、$DF\perp CE$，$\angle BFD$ 为二面角平面角；$BF=\frac{\sqrt{2}}{2}$、$DF=\frac{\sqrt{6}}{2}$、$BD=\sqrt{3}$，$\cos \angle BFD=-\frac{\sqrt{3}}{3}$。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(文)） 如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为矩形，$PA\perp$ 底面 $ABCD$，$PA=AB=\sqrt{2}$，点 $E$ 是棱 $PB$ 的中点.

(1)证明：$AE\perp$ 平面 $PBC$；

(2)若 $AD=1$，求二面角 $B-EC-D$ 的平面角的余弦值.

🔍【思路分析】

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1.（1）$△PAB$ 等腰直角且 $E$ 为 $PB$ 中点 $\Rightarrow AE\perp PB$；$BC\perp AB$ 且 $AB$ 是 $PB$ 在底面内的射影 $\Rightarrow BC\perp PB$，故 $BC\perp$ 平面 $PAB$，$BC\perp AE$。 2. $AE$ 垂直平面 $PBC$ 内两条相交直线 $PB$、$BC$，得线面垂直。 3.（2）$AD=1\Rightarrow BC=1$：$BE=BC=1$ 且 $BC\perp BE$，$△BEC$ 等腰直角；$CE=\sqrt{2}$，$△CED$ 三边 $\sqrt{2},\sqrt{2},\sqrt{2}$ 等边。取 $CE$ 中点 $F$，则 $BF\perp CE$、$DF\perp CE$，$\angle BFD$ 即二面角的平面角。 4. $BF=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$DF=\frac{\sqrt{6}}{2}$，$BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{3}$，余弦定理求角。

✅【答案】

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(1) 见解析

(2) $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）因为 $PA\perp$ 底面 $ABCD$，得 $PA\perp AB$；又 $PA=AB=\sqrt{2}$， 所以 $△PAB$ 为等腰直角三角形. 又点 $E$ 是棱 $PB$ 的中点，故 $AE\perp PB.$ 由题意知 $BC\perp AB$，又 $AB$ 是 $PB$ 在面 $ABCD$ 内的射影，由三垂线定理得 $BC\perp PB$， 从而 $BC\perp$ 平面 $PAB$. 因 $AE\subset$ 平面 $PAB$，所以 $BC\perp AE$. 于是 $AE$ 垂直于平面 $PBC$ 内两条相交直线 $PB$ 与 $BC$， 所以 $AE\perp \text{平面}PBC.$ （2）由 $PA\perp$ 底面 $ABCD$ 及矩形性质，$BC\perp AB$ 且 $BC\perp PA$，从而 $BC\perp$ 平面 $PAB$，所以 $BC\perp BE$. 又 $PB=\sqrt{P{A}^2+A{B}^2}=2$，所以 $BE=1$，进而 $CE=\sqrt{B{E}^2+B{C}^2}=\sqrt{2}.$ 由 $AD\perp$ 平面 $PAB$ 及 $AE=1$，得 $DE=\sqrt{A{D}^2+A{E}^2}=\sqrt{2}$，而 $CD=AB=\sqrt{2}$. 所以 $△CED$ 为等边三角形. 取 $F$ 为 $CE$ 的中点. 在等边三角形 $CED$ 中，$DF\perp CE$，且 $DF=\sqrt{D{E}^2-{\left(\frac{CE}{2}\right)}^2}=\sqrt{2-\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2};$ 在等腰直角三角形 $EBC$ 中，$BF\perp CE$，且 $BF=\frac{CE}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. 因此 $\angle BFD$ 是二面角 $B-EC-D$ 的平面角. 又 $B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2=3$，由余弦定理得 $\cos \angle BFD=\frac{B{F}^2+D{F}^2-B{D}^2}{2BF\cdot DF}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}-3}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{6}}{2}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}.$ 故二面角 $B-EC-D$ 的平面角的余弦值为 $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直的判定与二面角

核心方法：$AE\perp PB$（等腰直角三角形中线）+ $AE\perp BC$（三垂线）$\Rightarrow AE\perp$ 平面 $PBC$；取 $CE$ 中点 $F$，$\angle BFD$ 为二面角平面角，$\cos =-\frac{\sqrt{3}}{3}$

避坑指南：$△PAB$ 等腰直角且 $E$ 是 $PB$ 中点 $\Rightarrow AE\perp PB$；$BC\perp$ 平面 $PAB$ 是三垂线定理的桥；$△CED$ 等边、$△BEC$ 等腰直角给出 $F$ 处两条垂线；余弦定理算角时 $B{D}^2=3$ 来自底面矩形对角线。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：立体几何证明 + 求角：垂直靠”线线 $\Rightarrow$ 线面”，求角找平面角再解三角形。

结论推广：线面垂直判定定理（垂直面内两相交直线）；等腰三角形底边中线即高；二面角平面角的构造：棱的垂面或中点双垂线。

方法推广：证线面垂直先找面内已有垂直，再补一条；求二面角先构造平面角（本题取中点得双垂线），再在 $△BDF$ 中用余弦定理。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-19 解-四棱锥二面角
• 2009-湖北卷文-18 解-四棱锥垂直与二面角
• 2011-重庆卷文-20 解-四面体体积与二面角
• 2012-四川卷文-19 解-线面角与二面角