2008-安徽卷文-19 解-四棱锥角与距离

本题导读

本题在四棱锥 $O-ABCD$ 中：(1) 平移 $AB$ 到 $CD$，$\angle MDC$ 即异面直线 $AB$ 与 $MD$ 所成角；(2) 由 $AB\parallel$ 平面 $OCD$ 把点 $B$ 的距离转化为点 $A$ 的距离，在直角三角形 $OAP$ 中用等积（斜边上的高）求出。

📌【题干】

Question

（2008年安徽卷(文)） 如图，在四棱锥 $O-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是四边长为 $1$ 的菱形，$\angle ABC=\frac{\pi }{4}$，$OA\perp$ 底面 $ABCD$，$OA=2$，$M$ 为 $OA$ 的中点.

(1)求异面直线 $AB$ 与 $MD$ 所成角的大小；

(2)求点 $B$ 到平面 $OCD$ 的距离.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) $CD\parallel AB$，故 $\angle MDC$（或其补角）为所求角；作 $AP\perp CD$ 于 $P$，连 $MP$，在直角三角形 $MDP$ 中用 $\cos \angle MDP=\frac{DP}{MD}$。
2. (2) $AB\parallel CD$ 且 $CD\subset$ 平面 $OCD$，故 $AB\parallel$ 平面 $OCD$，点 $B$ 与 $A$ 到该平面距离相等；$AQ\perp OP$ 于 $Q$，则 $AQ$ 即所求，用 $AQ=\frac{OA\cdot AP}{OP}$。
3. 亦可建系：以 $A$ 为原点，$AB$、$AP$、$AO$ 为坐标轴，求平面 $OCD$ 法向量。

✅【答案】

点击查看答案

(1)$\frac{\pi }{3}$（即 $60^{\circ }$）；(2)$\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

方法一（综合法）： (1)因为 $CD\parallel AB$，所以 $\angle MDC$ 为异面直线 $AB$ 与 $MD$ 所成的角（或其补角）。 作 $AP\perp CD$ 于点 $P$，连接 $MP$。因为 $OA\perp$ 底面 $ABCD$，所以 $OA\perp CD$，又 $AP\perp CD$，故 $CD\perp$ 平面 $OAP$，从而 $CD\perp MP$。 在底面菱形中，$\angle ADC=\pi -\angle ABC=\frac{3\pi }{4}$，$\angle ADP=\frac{\pi }{4}$，$DP=AD\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 在直角三角形 $MAP$ 中（$AP\perp OA$ 换个角度：$MP\perp CD$，且 $△MAP$ 中 $MA\perp$ 底面系由 $OA\perp$ 底面给出 $MA\perp AP$），$MA=1$，$AP=AD\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故 $MP=\sqrt{M{A}^2+A{P}^2}=\sqrt{1+\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。 在直角三角形 $MDP$ 中，$\cos \angle MDP=\frac{DP}{MD}$，$MD=\sqrt{M{A}^2+A{D}^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$， $\cos \angle MDP=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，所以异面直线 $AB$ 与 $MD$ 所成角为 $\frac{\pi }{3}$。 (2)因为 $AB\parallel CD$，$CD\subset$ 平面 $OCD$，$AB⊈$ 平面 $OCD$，所以 $AB\parallel$ 平面 $OCD$，点 $B$ 与点 $A$ 到平面 $OCD$ 的距离相等。 连接 $OP$，过 $A$ 作 $AQ\perp OP$ 于 $Q$。由(1)知 $CD\perp$ 平面 $OAP$，$AQ\subset$ 平面 $OAP$，所以 $CD\perp AQ$；又 $AQ\perp OP$，$CD\cap OP=P$，所以 $AQ\perp$ 平面 $OCD$，线段 $AQ$ 的长就是点 $A$ 到平面 $OCD$ 的距离。 在直角三角形 $OAP$ 中，$OA=2$，$AP=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$OP=\sqrt{O{A}^2+A{P}^2}=\sqrt{4+\frac{1}{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$， 由等面积法，$AQ=\frac{OA\cdot AP}{OP}=\frac{2\times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}=\frac{2}{3}$。 所以点 $B$ 到平面 $OCD$ 的距离为 $\frac{2}{3}$。 方法二（向量法）： 作 $AP\perp CD$ 于点 $P$，分别以 $AB$，$AP$，$AO$ 所在直线为 $x$，$y$，$z$ 轴建立空间直角坐标系，则 $A=(0,0,0)$，$B=(1,0,0)$，$P=\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2},0\right)$，$D=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},0\right)$，$O=(0,0,2)$，$M=(0,0,1)$。 (1)$\overrightarrow{AB}=(1,0,0)$，$\overrightarrow{MD}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},-1\right)$， $\cos ⟨\overrightarrow{AB},\overrightarrow{MD}⟩=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1\times \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，所以异面直线 $AB$ 与 $MD$ 所成角为 $\frac{\pi }{3}$。 (2)$\overrightarrow{OP}=\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2},-2\right)$，$\overrightarrow{OD}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},-2\right)$。 设平面 $OCD$ 的法向量 $\mathbf{n}=(x,y,z)$，则 $\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{2}}{2}y-2z=0,\\ \frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y-2z=0.\end{array}$ 取 $z=\sqrt{2}$，解得 $\mathbf{n}=(0,4,\sqrt{2})$。 $\overrightarrow{OB}=(1,0,-2)$，点 $B$ 到平面 $OCD$ 的距离 $d=\frac{|\overrightarrow{OB}\cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|}=\frac{|-2\sqrt{2}|}{\sqrt{16+2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=\frac{2}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线角与点到平面的距离

核心方法：平移构角 $\angle MDC$；线面平行转化距离到点 $A$，再用斜边上的高

避坑指南：$\angle ADC=\frac{3\pi }{4}$ 由菱形邻角互补得出；等积求高 $AQ=\frac{OA\cdot AP}{OP}$，向量法法向量取 $(0,4,\sqrt{2})$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 四川文第 15 题、2012 四川文第 14 题同考异面直线角。

结论推广：异面角通过平移到同一三角形内求解；点面距离可用等价转化加等积（斜边上的高）。

方法推广：建系时选互相垂直的三条线（如 $AB$、$AP$、$AO$）能让坐标全是简洁值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-15 填-异面直线所成角
• 2010-天津卷文-19 解-异面直线角与二面角
• 2012-四川卷文-14 填-异面直线所成角
• 2010-江苏卷-16 解-线面垂直与点面距离