2008-安徽卷理-05 单-三角函数

本题导读

本题考查三角函数图象的平移变换以及正弦型函数关于点对称的性质，属于三角函数基础题。

📌【题干】

Question

（2008年安徽卷(理)） 将函数 $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ 的图象按向量 $\mathbf{a}$ 平移后所得的图象关于点 $\left(-\frac{\pi }{12},0\right)$中心对称，则向量 $\mathbf{a}$ 的坐标可能为 ()

A. $\left(-\frac{\pi }{12},0\right)$　　　B. $\left(-\frac{\pi }{6},0\right)$　　　C. $\left(\frac{\pi }{12},0\right)$　　　D. $\left(\frac{\pi }{6},0\right)$

🔍【思路分析】

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1. 设平移向量为 $\mathbf{a}=(\varphi ,0)$，写出平移后的函数解析式。
2. 根据平移后的函数图象关于点 $\left(-\frac{\pi }{12},0\right)$ 中心对称，利用正弦函数的对称中心特征列出方程，解出 $\varphi$ 的所有可能值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设平移向量 $\mathbf{a}=(\varphi ,0)$，将函数 $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ 的图象按向量 $\mathbf{a}$ 平移后， 所得图象的解析式为 $y=\sin \left[2(x-\varphi )+\frac{\pi }{3}\right]=\sin \left(2x-2\varphi +\frac{\pi }{3}\right)$。 因为所得图象关于点 $\left(-\frac{\pi }{12},0\right)$ 中心对称， 所以当 $x=-\frac{\pi }{12}$ 时，正弦函数的相位应为 $\pi$ 的整数倍， 即 $2\times \left(-\frac{\pi }{12}\right)-2\varphi +\frac{\pi }{3}=k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）， 化简得 $-\frac{\pi }{6}-2\varphi +\frac{\pi }{3}=k\pi ⟹\frac{\pi }{6}-2\varphi =k\pi$， 解得 $\varphi =\frac{\pi }{12}-\frac{k\pi }{2}$（$k\in \mathbb{Z}$）。 当 $k=0$ 时，$\varphi =\frac{\pi }{12}$，此时 $\mathbf{a}=\left(\frac{\pi }{12},0\right)$。 故选 (C)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数图象的平移规律（“左加右减”）与正弦型函数的对称中心。
2. 核心方法：利用正弦函数 $y=\sin x$ 的对称中心为 $(k\pi ,0)$ 建立关于平移量 $\varphi$ 的方程。
3. 避坑指南：平移时要注意是对自变量 $x$ 整体进行变换，即 $x\to x-\varphi$，不要错误地写成 $2x+\frac{\pi }{3}-\varphi$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 改编自课本中关于 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的图象变换与性质章节。
2. 结论推广: 若 $y=f(x)$ 关于点 $(x_0,y_0)$ 中心对称，则其按向量 $\mathbf{a}=(h,k)$ 平移后的新函数关于点 $(x_0+h,y_0+k)$ 中心对称。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-06 填-三角函数
• 2009-四川卷理-04 单-三角函数
• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数