2008-安徽卷理-08 单-圆

本题导读

本题考查直线与圆有公共点的临界条件，通过研究圆心到直线的距离与半径的关系，求解直线斜率的取值范围，考查数形结合思想与运算能力。

📌【题干】

Question

（2008年安徽卷(理)） 若过点 $A(4,0)$ 的直线 $l$ 与曲线 $(x-2{)}^2+y^2=1$ 有公共点，则直线 $l$ 的斜率的取值范围为 ()

A. $[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$　　　B. $(-\sqrt{3},\sqrt{3})$　　　C. $\left[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right]$　　　D. $\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设出过点 $A(4,0)$ 的直线方程（注意斜率不存在的情况需先检验）。
2. 曲线为圆，其圆心和半径已知。直线与圆有公共点，等价于圆心到直线的距离 $d\le R$。
3. 列出关于斜率 $k$ 的不等式，求解即可。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

曲线 $(x-2{)}^2+y^2=1$ 表示以 $C(2,0)$ 为圆心，半径 $R=1$ 的圆。 当过点 $A(4,0)$ 的直线 $l$ 斜率不存在时，直线方程为 $x=4$，圆心 $C(2,0)$ 到直线的距离为 $4-2=2>1$，直线与圆无公共点，不合题意。 故直线 $l$ 的斜率存在，设其方程为 $y-0=k(x-4)$，即 $kx-y-4k=0$。 因为直线 $l$ 与圆有公共点， 所以圆心 $C(2,0)$ 到直线 $l$ 的距离 $d\le R$， 即 $d=\frac{|2k-0-4k|}{\sqrt{k^2+(-1{)}^2}}=\frac{|-2k|}{\sqrt{k^2+1}}\le 1$， 平方去分母得 $4k^2\le k^2+1⟹3k^2\le 1$， 解得 $-\frac{\sqrt{3}}{3}\le k\le \frac{\sqrt{3}}{3}$。 所以直线 $l$ 的斜率的取值范围为 $\left[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right]$。 故选 (C)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系。
2. 核心方法：几何法（$d\le R$）比代数法（联立方程 $\Delta \ge 0$）计算量更小、更直观。
3. 避坑指南：注意“有公共点”包含相切和相交两种情况，因此不等号为 $\le$，最终对应闭区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 解析几何经典题型，直接源自人教A版必修“直线与圆的位置关系”课后典型例题。
2. 结论推广: 过圆外一点引圆的切线，两条切线的夹角 $\theta$ 满足 $\sin \frac{\theta }{2}=\frac{R}{|AC|}=\frac{1}{2}⟹\frac{\theta }{2}=30^{\circ }⟹\theta =60^{\circ }$。倾斜角的边界值为 $\pm 30^{\circ }$，因此斜率 $k\in \left[-\tan 30^{\circ },\tan 30^{\circ }\right]=\left[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right]$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-江苏卷-18 解-直线与圆双弦
• 2009-辽宁卷文-07 单-直线与圆相切定圆
• 2009-重庆卷理-01 单-直线与圆的位