2008-安徽卷理-16 填-线面位置

本题导读

本题通过三棱锥的垂直结构考查空间外接球半径的确定，并进一步求解球面上两点间的大圆弧长（球面距离）。

📌【题干】

Question

（2008年安徽卷(理)） 已知 $A,B,C,D$ 在同一个球面上，$AB\perp$ 平面 $BCD$，$BC\perp CD$，若 $AB=6,AC=2\sqrt{13},AD=8$，则 $B,C$ 两点间的球面距离是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据 $AB\perp$ 平面 $BCD$ 且 $BC\perp CD$，证明 $△ABC,△BCD,△ABD,△ACD$ 均为直角三角形。
2. 利用勾股定理依次求出三棱锥各边长（主要是 $BC$）。
3. 运用长方体外接球模型或直角三角形斜边中点性质确定外接球半径 $R$。
4. 计算 $△OBC$ 的顶角，由弧长公式求出球面距离。

✅【答案】

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$4\pi$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $AB\perp$ 平面 $BCD$，所以 $AB\perp BC,AB\perp CD$。 在 Rt$△ABC$ 中，$AB=6,AC=2\sqrt{13}$， 则 $BC=\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{52-36}=4$。

又 $BC\perp CD$，且 $AB\perp CD$，$AB\cap BC=B$，所以 $CD\perp$ 平面 $ABC$，得 $CD\perp AC$。 在 Rt$△ACD$ 中，$AC=2\sqrt{13},AD=8$， 则 $CD=\sqrt{A{D}^2-A{C}^2}=\sqrt{64-52}=2\sqrt{3}$。

由于 $AB,BC,CD$ 两两垂直，可将该三棱锥补形成一个长、宽、高分别为 $4,2\sqrt{3},6$ 的长方体。 其外接球的直径 $2R$ 即为长方体的体对角线（即 $AD$）： $2R=\sqrt{4^2+(2\sqrt{3}{)}^2+6^2}=\sqrt{16+12+36}=\sqrt{64}=8⟹R=4$ 设球心为 $O$，连接 $OB,OC$，则 $OB=OC=R=4$。 又已知 $BC=4$， 所以在 $△OBC$ 中，$OB=OC=BC=4$，该三角形为正三角形。 由此可知球心角 $\angle BOC=\frac{\pi }{3}$。 故 $B,C$ 两点间的球面距离为 $d=R\cdot \angle BOC=4\times \frac{\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}$。 答案：$\frac{4\pi }{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球面距离对应球心角的大圆弧长；“墙角”型三棱锥的外接球半径公式 $2R=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$。
2. 核心方法：补形法。发现三条线段两两垂直时，直接构造长方体能极大地简化寻找球心的过程。
3. 避坑指南：切勿直接将空间直线距离 $BC=4$ 错当成球面距离。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是立体几何经典“四面体外接球”模型的深化，常出现在人教A版立体几何章节的复习参考压轴题中。
2. 结论推广: 若四面体有一条侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形，则该四面体的最长棱即为外接球的直径。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-06 填-球表面积比
• 2009-上海卷理-08 填-球
• 2009-北京卷理-04 单-线面位置