2009-北京卷理-04 单-线面位置

本题导读

本题考查正四棱柱的结构特征、直线与平面所成的角。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(理)） 若正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的底面边长为 1， $A{B}_1$ 与底面 $ABCD$ 成 $60^{\circ }$ 角，则 $A_1{C}_1$ 到底面 $ABCD$ 的距离为 ()

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. $\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据正四棱柱的性质，侧棱垂直于底面，确定 $A{B}_1$ 在底面 $ABCD$ 上的射影为 $AB$，从而明确线面角 $\angle B_{1}AB=60^{\circ }$。
2. 在 $\text{Rt}\Delta B_{1}BA$ 中，由底面边长 $AB=1$ 及正切值求出高 $B{B}_1$。
3. 依据平行性质，上底面上的线段 $A_1{C}_1$ 到底面 $ABCD$ 的距离等于该正四棱柱的高 $B{B}_1$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：在正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，侧棱 $B_{1}B\perp$ 底面 $ABCD$。 所以斜线 $A{B}_1$ 在底面 $ABCD$ 上的射影为 $AB$。 根据斜线与平面所成角的定义， $\angle B_{1}AB$ 即为 $A{B}_1$ 与底面 $ABCD$ 所成的角，则 $\angle B_{1}AB=60^{\circ }$。 因为底面边长为 1，所以 $AB=1$。 在 $\text{Rt}\Delta B_{1}BA$ 中， $\angle B_{1}BA=90^{\circ }$： $B{B}_1=AB\cdot \tan \angle B_{1}AB=1\times \tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$ 因为上底面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1\parallel$ 下底面 $ABCD$，且 $A_1{C}_1\subset$ 平面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$， 所以线段 $A_1{C}_1$ 到底面 $ABCD$ 的距离即为两平行底面间的距离，等于正四棱柱的高 $B{B}_1$。 故该距离为 $\sqrt{3}$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正四棱柱的定义与侧棱性质；直线与平面所成角的投影找法。
2. 核心方法：直角三角形边角边计算法。
3. 避坑指南：容易被题目中的 $A_1{C}_1$ 误导去求底面中心或者对角线的长度，实际上只需要看清空间平行关系，线面距离直接等价于侧棱长。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自教材中立体几何多面体基本性质及空间距离度量的例题变形。
2. 结论推广: 在任意直棱柱中，上底面内的任意几何图形（点、线段、区域）到下底面的空间距离恒等于该直棱柱的侧棱长。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 2011-四川卷理-19 解-三棱柱线面
• 2011-大纲卷文-20 解-四棱锥线面垂直与线面角
• 2011-山东卷文-19 解-四棱台线面平行垂直