2008-山东卷文-13 填-圆交点定双曲线方程

本题导读

圆 $C$ 与 $y$ 轴无交点，与 $x$ 轴交于 $(2,0)$、$(4,0)$；焦点 $(4,0)$、顶点 $(2,0)$ 定 $c=4,a=2$.

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(文)） 已知圆 $C:x^2+y^2-6x-4y+8=0$. 以圆 $C$ 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为　　　.

🔍【思路分析】

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$y=0$：$x=2,4$；$x=0$：$y^2-4y+8=0$ 无实根. 取 $c=4,a=2$，$b^2=12$，得 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$.

✅【答案】

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$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$

✍【详细解析】

Abstract

令 $y=0$：$x^2-6x+8=0$，$x=2$ 或 $4$，交点 $(2,0)$、$(4,0)$；令 $x=0$：$y^2-4y+8=0$，$\Delta =16-32<0$，无交点. 以 $(4,0)$ 为焦点、$(2,0)$ 为顶点：$c=4$，$a=2$，$b^2=c^2-a^2=12$. 若以 $(2,0)$ 为焦点、$(4,0)$ 为顶点，则 $c=2<a=4$ 与焦点在顶点外侧矛盾，舍. 故所求双曲线方程为 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的交点与双曲线定位

核心方法：先求交点并检验取舍，焦点到中心距离 $c$ 必须大于顶点到中心距离 $a$

避坑指南：圆与 $y$ 轴无交点（$Delta<0$）别硬造；焦点 $(2,0)$ 顶点 $(4,0)$ 的组合使 $c<a$，矛盾舍去，只能取 $c=4,a=2$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：由圆的交点构造圆锥曲线（2010 天津文 13）

结论推广：焦点/顶点可来自抛物线、圆等任意曲线的交点，$c>a$ 的几何约束不变

方法推广：先列交点再配对取舍，”$c>a$ 才有 $b^2=c^2-a^2>0$“是硬约束

🔗【关联脉络】

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