2010-福建卷文-13 填-双曲线渐近线定b

本题导读

考查双曲线渐近线。$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$，$a=2$，$b=1$。

📌【题干】

Question

（2010年福建卷(文)） 若双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$b>0$）的渐近线方程为 $y=\pm \frac{1}{2}x$，则 $b$ 等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 焦点在 $x$ 轴上，渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$。
2. $\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$，$a^2=4\Rightarrow a=2$。
3. $b=a\times \frac{1}{2}=1$。

✅【答案】

点击查看答案

$1$

✍【详细解析】

Abstract

双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（焦点在 $x$ 轴上）的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$. 由 $\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$ 且 $a^2=4$，即 $a=2$，得 $b=1$. 故 $b$ 等于 $1$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的渐近线

核心方法：焦点在 $x$ 轴：渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$，对照定 $b$

避坑指南：本题标准方程是 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1$，$a^2=4$；若焦点在 $y$ 轴则渐近线为 $y=\pm \frac{a}{b}x$，两种形态别混。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：渐近线只由 $\frac{b}{a}$ 决定，与离心率互推：$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$。

结论推广：$y=\pm \frac{1}{2}x$ 的”斜率 = 半实轴比半虚轴”要看清谁是分子。

方法推广：渐近线方程与离心率、焦点位置三件套常互为已知与所求。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-04 单-双曲线渐近线
• 2011-北京卷文-10 填-双曲线渐近线
• 2011-湖南卷文-06 单-双曲线渐近线
• 2012-湖南卷文-06 单-双曲线渐近线方程