2010-天津卷文-13 填-双曲线方程

本题导读

考查双曲线方程。$\frac{b}{a}=\sqrt{3}$，$c=4$，解得 $a^2=4,b^2=12$，方程为 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$。

📌【题干】

Question

（2010年天津卷(文)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 的一条渐近线方程是 $y=\sqrt{3}x$，它的一个焦点与抛物线 $y^2=16x$ 的焦点相同，则双曲线的方程为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$，$\frac{b}{a}=\sqrt{3}$。
2. 抛物线 $y^2=16x$ 的焦点 $(4,0)$，故 $c=4$。
3. $c^2=a^2+b^2=4a^2=16$，$a^2=4$，$b^2=12$。

✅【答案】

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$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$

✍【详细解析】

Abstract

双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线为 $y=\pm \frac{b}{a}x$， 由题意 $\frac{b}{a}=\sqrt{3}$，即 $b^2=3a^2$。 抛物线 $y^2=16x$ 的焦点为 $(4,0)$，故双曲线 $c=4$， $c^2=a^2+b^2=a^2+3a^2=4a^2=16,$ 解得 $a^2=4$，$b^2=12$。 双曲线方程为 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的方程与渐近线

核心方法：渐近线给 $\frac{b}{a}$，焦点给 $c$，$c^2=a^2+b^2$ 联立

避坑指南：焦点在 $x$ 轴上的双曲线渐近线是 $y=\pm \frac{b}{a}x$，焦点位置看错则 $a,b$ 互换；抛物线 $y^2=16x$ 的焦点是 $(4,0)$，$2p=16$ 则 $\frac{p}{2}=4$，别取成 $8$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线三量关系 $c^2=a^2+b^2$（注意与椭圆的 $a^2=b^2+c^2$ 相反）。

结论推广：渐近线斜率、离心率、$\frac{b}{a}$ 三者知一求二：$e=\sqrt{1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2}$。

方法推广：抛物线 $y^2=2px$ 的焦点 $\left(\frac{p}{2},0\right)$、准线 $x=-\frac{p}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-04 单-双曲线渐近线
• 2011-天津卷文-06 单-双曲线渐近线与抛物线焦点
• 2012-天津卷文-11 填-双曲线渐近线与焦点
• 2009-大纲卷I文-05 单-双曲线渐近线离心率