2008-山东卷理-04 单-绝对值不等式

本题导读

本题考查绝对值型复合函数的对称性。解题核心在于将“图象关于直线对称”转化为自变量加减对称位置的函数值相等，或利用绝对值几何意义将其转化为数轴上的中点问题。

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(理)） 设函数 $f(x)=|x+1|+|x-a|$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称，则 $a$ 的值为 ()

A. 3　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 1　　　　　　　D. -1

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据绝对值几何意义， $f(x)=|x+1|+|x-a|$ 表示数轴上动点 $x$ 到定点 $-1$ 和 $a$ 的距离之和。
2. 该型函数的图象呈“梯形谷底”对称状，其对称轴必为两定点连线段的中点所在的直线。
3. 利用中点公式建立关于 $a$ 的一元一次方程求解。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为函数 $f(x)=|x+1|+|x-a|$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称， 根据绝对值的几何意义，该函数表示数轴上的动点 $x$ 到定点 $-1$ 与 $a$ 的距离之和。 其几何图形（折线）的对称轴必然经过这两个定点对应线段的中点。 由中点公式可得： $\frac{-1+a}{2}=1$ 解得 $-1+a=2⟹a=3$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值函数的几何意义，轴对称函数的代数特征。
2. 核心方法：中点性质法。亦可采用定义法：利用 $f(1+x)=f(1-x)$ 恒成立，代入特殊值（如 $x=1$）得 $f(2)=f(0)⟹|3|+|2-a|=|1|+|-a|$，同样可以解得 $a=3$。
3. 避坑指南：脱绝对值符号分类讨论极易因区间繁琐导致计算出错，推荐优先选择几何法或特值法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题由教材中“绝对值不等式的几何意义”延伸而来，属于考查数形结合思想的经典常规题。
2. 结论推广: 函数 $f(x)=|x-m|+|x-n|$ 的图象恒关于直线 $x=\frac{m+n}{2}$ 轴对称。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-上海卷文-04 填-框图分段函数
• 2009-上海卷文-13 填-奇函数与等差中项