2008-山东卷理-09 单-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理的通项应用。核心考查意图是利用二项展开式的通项公式表达出任意项的自变量指数，通过常数项对应的指数为 0 建立方程，进而求出指定项的系数。

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(理)） ${\left(x-\frac{1}{\sqrt{1+x}x}\right)}^{12}$ 展开式中的常数项为 ()

A. -1320　　　　　B. 1320　　　　　C. -220　　　　　D. 220

🔍【思路分析】

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1. 写出二项展开式的通项公式 $T_{r+1}$，注意负号。
2. 合并自变量 $x$ 的指数项，令其总指数等于 0，解出 $r$ 的值。
3. 将 $r$ 代入系数部分计算出结果。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

二项式 ${\left(x-x^{-\frac{1}{3}}\right)}^{12}$ 展开式的通项公式为： $T_{r+1}={\mathrm{C}}_{12}^r\cdot x^{12-r}\cdot {\left(-x^{-\frac{1}{3}}\right)}^r=(-1{)}^r{\mathrm{C}}_{12}^r{x}^{12-r-\frac{1}{3}r}=(-1{)}^r{\mathrm{C}}_{12}^r{x}^{12-\frac{4}{3}r}$ 令该项为常数项，则满足自变量的指数为 0： $12-\frac{4}{3}r=0⟹\frac{4}{3}r=12⟹r=9$ 将 $r=9$ 代入通项公式中，得常数项为： $(-1{)}^9{\mathrm{C}}_{12}^9=-{\mathrm{C}}_{12}^3=-\frac{12\times 11\times 10}{3\times 2\times 1}=-220$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式通项公式 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$，负号的乘方处理。
2. 核心方法：公式法、指数方程化归法。
3. 避坑指南：极其容易漏掉项中的负号，当 $r=9$ 为奇数时，$(-1{)}^9=-1$，若漏掉负号会导致误选 D ($220$)。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于典型的二项式定理常考小题，源于教材课后练习题的直接数据替换。
2. 结论推广: 对于 ${\left(x^a-x^{-b}\right)}^n$ 展开式中，若存在常数项，则其项数对应的 $r$ 必须满足 $r=\frac{an}{a+b}\in \mathbf{Z}$ 且 $0\le r\le n$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷理-06 单-二项式定理
• 2009-四川卷文-14 填-二项式常数项
• 2009-四川卷理-13 填-二项式定理